Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

166 Глава 4. Аффинные пространства
или в развернутом виде
x
1
= λ
1
+ λ
3
,
x
2
= λ
2
+ λ
3
,
x
3
= λ
3
+ λ
6
,
x
4
= λ
4
+ λ
6
,
где все λ
i
> 0 и λ
1
+ λ
2
+ λ
3
+ λ
4
+ λ
5
+ λ
6
= 1.
Пример 17.4. Многогранник M задан как выпуклая оболочка системы точек в про-
странстве A
4
: O(0, 0, 0, 0), A(2, 0, 0, 0), B(0, 2, 0, 0), C(0, 0, 2, 0), D(2, 2, 0, 0), E(2, 0, 2, 0),
F (0, 2, 0, 2), G(2, 2, 2, 0), H(0, 0, 0, 3), I(1, 1, 1, 0). Написать систему линейных нера-
венств, задающих этот многогранник. Найти все его трехмерные грани и уравнения,
описывающие многогранник.
Решение. Пусть {0,~e
1
, ~e
2
, ~e
3
, ~e
4
} — репер
Рис. 17.
пространства A
4
. В этом репере заданные
точки расположены так, как это изображе-
но на рис. 17. Чтобы найти систему нера-
венств, определяющих многогранник и его
трехмерные грани, как и в предыдущем при-
мере, через каждую четверку точек, не ле-
жащих на одной двумерной плоскости, про-
ведем трехмерную плоскость, т.е. гиперплос-
кость в пространстве A
4
. Пусть уравнение
4
X
i=1
a
i
x
i
= b
является уравнением такой гиперплоскости,
причем для координат всех заданных точек
выполняется одно из неравенств
4
X
i=1
a
i
x
i
> b
4
X
i=1
a
i
x
i
6 b.
Тогда соответствующее неравенство входит в совокупность замкнутых гиперплоско-
стей, пересечение которых определяет искомый многогранник. При этом выпуклая
оболочка всех точек, лежащих в найденной гиперповерхности, будет трехмерной гра-
нью этого многогранника.
Если к решению задачи подходить формально, то число плоскостей, проходящих
через четыре из заданных десяти точек, определится как C
4
10
= 10!/4!6! = 210. Одна-
ко, предварительно подсчитав (см. рис. 17) количество точек, лежащих в двумерных
плоскостях, можно существенно уменьшить число рассматриваемых гиперплоскостей.
Действительно, поскольку вектор
−−→
OE =
−→
OA +
−−→
OC, то четыре точки O, A, E, C при-
надлежат одной двумерной плоскости, образуя параллелограмм OAEC. Аналогич-
но устанавливаются еще пять параллелограммов: OADB, OBF C, ADEG, BDFG,
CEF G.
Нетрудно убедиться, что точки O, A, B, C, D, E, F, G — вершины параллелограм-
мов — принадлежат одной гиперплоскости x
4
= 0. Для четверки точек O, A, B, C
запишем уравнение проходящей через них гиперплоскости:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
2 0 0 0 1
0 2 0 0 1
0 0 2 0 1
= −x
4
0 0 0 1
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
= x
4
2 0 0
0 2 0
0 0 2
= 8x
4
= 0

Страницы