Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

168 Глава 4. Аффинные пространства
или 3x
2
+ 2x
4
= 6.
И, наконец,
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 2 0 1
2 0 2 0 1
0 2 2 0 1
0 0 0 3 1
= 8x
4
− 3(4x
3
− 8) = 0
или 3x
3
+ 2x
4
= 6.
Итак, мы нашли уравнения семи гиперплоскостей от π
(1)
3
по π
(7)
3
. Подставив пооче-
редно координаты всех заданных точек в эти уравнения, убеждаемся, что все гипер-
плоскости являются опорными их выпуклой оболочки, определяемой неравенствами
x
1
> 0, x
2
> 0, x
3
> 0, x
4
> 0;
3x
1
+ 2x
4
6 6, 3x
2
+ 2x
4
6 6, 3x
3
+ 2x
4
6 6.
(17.35)
Как и в предыдущем примере, несложно показать, что других опорных гиперплос-
костей не существует и именно система неравенств (17.35) определяет многогранник,
являющийся выпуклой оболочкой заданной системы точек.
Что касается граней многоугольника, то одну мы уже нашли. Ей является трех-
мерный параллелепипед OABCDEF G, лежащий в опорной плоскости π
(1)
3
. Осталь-
ными шестью трехмерными гранями, как это следует из построения их опорных ги-
перплоскостей (см. также рис. 17), являются трехмерные пятигранники — четырех-
угольные пирамиды с общей вершиной H, а именно: OABDH, OACEH, OBCF H,
ADEGH, BDEGH, CEF GH.
Таким образом, выпуклой оболочкой заданной системы точек является четырех-
мерный семигранник OABCDEF GH, определяемый системой неравенств (17.35), с
перечисленными выше гранями.
Особенность данной выпуклой оболочки состоит в том, что не все заданные точ-
ки, как в предыдущем примере, являются вершинами соответствующего ей много-
гранника. Так, точка I не является его вершиной, поскольку, как было показано ра-
нее, не является внутренней точкой одной из его граней, а именно: параллелепипеда
OABCDEF GH.
Ответ на последний вопрос задачи об уравнениях, описывающих координаты то-
чек, принадлежащих многограннику OABCDEF GH, дают формулы (17.20), (17.21)
теоремы 17.2:
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
= λ
1
2
0
0
0
+λ
2
0
2
0
0
+λ
3
0
0
2
0
+λ
4
2
2
0
0
+λ
5
2
0
2
0
+λ
6
0
2
2
0
+λ
7
2
2
2
0
+λ
8
0
0
0
3
или в развернутом виде
x
1
= 2λ
1
+ 2λ
4
+ 2λ
5
+ 2λ
7
,
x
2
= 2λ
2
+ 2λ
4
+ 2λ
6
+ 2λ
7
,
x
3
= 2λ
3
+ 2λ
5
+ 2λ
6
+ 2λ
7
,
x
4
= 3λ
7
,
где все λ
i
> 0 и λ
1
+ λ
2
+ λ
3
+ λ
4
+ λ
5
+ λ
6
+ λ
7
+ λ
8
= 1.
В заключение отметим, что вычисление определителей можно было упростить,
проведя преобразование репера (0, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
, ~e
4
) так, чтобы координаты всех точек бы-
ли равны единице, как в предыдущем примере.
Теперь покажем, что решение аналогичных задач существенно упрощается с умень-
шением размерности исходного пространства A
n
.
Пример 17.5. Решить задачу, аналогичную предыдущим, для системы точек O(0, 0, 0),
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1, 1, 0), E(1, 0, 1), F (0, 1, 1) из A
3
.

Страницы