ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17. Системы линейных неравенств и многогранники 169
Решение. Пусть {0, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
} — репер пространства A
3
. В этом репере заданные точ-
ки расположены так, как это изображено на рис. 18. Чтобы найти систему неравенств,
определяющих трехмерный многогранник, необходимо через каждую тройку точек,
не лежащих на одной прямой, провести двумерную плоскость. Если
3
X
i=1
a
i
x
i
= b
— уравнение такой плоскости и координаты всех заданных точек удовлетворяют од-
ному из неравенств:
3
X
i=1
a
i
x
i
> b
3
X
i=1
a
i
x
i
6 b,
то соответствующее неравенство входит в систему неравенств, задающих искомый
многогранник. Выпуклая оболочка всех точек, лежащих в данной двумерной плоско-
сти, будет двумерной гранью данного многогранника. Например, выберем три точки
O, B, C и найдем уравнение плоскости π
(1)
2
, проходящей через них:
x
1
x
2
x
3
1
0 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
= x
1
0 0 1
1 0 1
0 1 1
= x
1
1 0
0 1
= x
1
= 0.
Подставив поочередно координаты точек A, D, E и F в
Рис. 18.
уравнение плоскости π
(1)
2
, убеждаемся, что эта гипер-
плоскость я вляется опорной и определяет полупростран-
ство x
1
> 0. Плоскости π
(1)
2
кроме точек O, B и C при-
надлежит и точка F (см. рис. 18). Выпуклой оболочкой
этих четырех точек O, B, C, F , лежащих на π
(1)
2
, являет-
ся параллелограмм, представляющий собой первую дву-
мерную грань трехмерного многогранника.
Подобным образом рассматриваются остальные трой-
ки точек, не лежащих на одной прямой, что позволяет
получить требуемую систему неравенств. Однако даль-
ше удобнее воспользоваться наглядностью трехмерного
аффинного пространства. Так, например, опорную ги-
перплоскость π
(1)
2
можно найти гораздо проще, учтя, что радиус-векторы
−−→
OC и
−−→
OB
совпадают с базисными векторами ~e
3
и ~e
2
соответственно, а вектор
−−→
OF является сум-
мой
−−→
OF =
−−→
OC +
−−→
OB.
Таким образом, двумерный четырехгранник OCBF является параллелограммом,
лежащим в координатной плоскости π
(1)
2
: x
1
= 0. Как и ранее, убеждаемся, что эта
плоскость является опорной. Следовательно, параллелограмм OBCF есть двумерная
грань трехмерного многогранника, лежащего в полупространстве x
1
> 0 (см. рис. 18).
Рассуждая аналогично, найдем, что π
(2)
2
: x
2
= 0 есть опорная гиперплоскость,
которой принадлежит параллелограмм OAEC, являющийся двумерной гранью трех-
мерного многогранника, лежащего в полупространстве x
2
> 0.
Аналогично π
(3)
2
: x
3
= 0 есть опорная гиперплоскость, которой принадлежит па-
раллелограмм OADB, являющийся двумерной гранью трехмерного многогранника,
лежащего в полупространстве x
3
> 0.
Далее найдем еще три опорных гиперплоскости π
(4)
2
: x
1
= 1; π
(5)
2
: x
2
= 1 и π
(6)
2
: x
3
=
1, в которых расположены три грани — двумерные трехгранники или треугольники
EAD, DBF и F CE. Сам многогранник расположен в замкнутых полупространствах
x
1
6 1, x
2
6 1, x
3
6 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- …
- следующая ›
- последняя »
