Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Системы линейных неравенств и многогранники 167
или x
4
= 0, которую мы обозначили как π
(1)
3
.
Принадлежность остальных точек D, E, F, G к этой гиперплоскости проверяется
элементарно: все они имеют нулевую четвертую координату. Заметим, что этой же ги-
перплоскости принадлежит и точка I, к которой мы еще вернемся. Точка H(0, 0, 0, 3),
не принадлежащая гиперплоскости x
4
= 0, и позволяет определить одно из двух
замкнутых полупространств, на которые пространство A
4
делится гиперплоскостью
x
4
= 0 и которому принадлежат все заданные точки. Поскольку 3 > 0, то этим полу-
пространством является x
4
> 0. С другой стороны, неравенство x
4
> 0 — первое из
искомой системы неравенств, определяющих многогранник.
Итак, мы установили, что гиперплоскость π
(1)
3
: x
4
= 0 является опорной гипер-
плоскостью, т.е. содержит одну из граней многогранника. Этой гранью является трех-
мерный параллелепипед OABCDEF G (см. рис. 17), поскольку именно он образует
выпуклую оболочку этих точек. Точка I является внутренней точкой этого паралле-
лепипеда, но не его вершиной.
Еще три параллелограмма: OABD, OACE, OBCF можно дополнить точкой H,
получив гиперплоскости π
(2)
3
, π
(3)
3
, π
(4)
3
: x
3
= 0, x
2
= 0 и x
1
= 0 соответственно. В этом
можно убедиться, раскрыв следующие определители:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
2 0 0 0 1
0 2 0 0 1
0 0 0 3 1
= x
3
0 0 0 1
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
= −x
3
2 0 0
0 2 0
0 0 3
= −12x
2
= 0, x
3
= 0;
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
2 0 0 0 1
0 0 2 0 1
0 0 0 3 1
= −x
2
0 0 0 1
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
= x
2
2 0 0
0 2 0
0 0 3
= 12x
2
= 0, x
2
= 0;
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
0 2 0 0 1
0 0 2 0 1
0 0 0 3 1
= x
1
0 0 0 1
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
= −12x
1
= 0, x
1
= 0.
Три другие параллелограмма ADEG, BDEG, CEF G, не содержащие начало ко-
ординат, т.е. точку O, тоже можно дополнить точкой H. В результате получим еще
три гиперплоскости: π
(5)
3
: 3x
1
+ 2x
4
= 6, π
(6)
3
: 3x
2
+ 2x
4
= 6, π
(7)
3
: 3x
3
+ 2x
4
= 6. В
этом можно убедиться, используя уравнение гиперплоскости, проходящей через че-
тыре точки:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
2 0 0 0 1
2 2 0 0 1
2 0 2 0 1
0 0 0 3 1
= −x
4
2 0 0 1
2 2 0 1
2 0 2 1
0 0 0 1
− 3
x
1
x
2
x
3
1
2 0 0 1
2 2 0 1
2 0 2 1
=
= −x
4
2 0 0
2 2 0
2 0 2
− 3
(
x
1
0 0 1
2 0 1
0 2 1
− x
2
2 0 1
2 0 1
2 2 1
+ x
3
2 0 1
2 2 1
2 0 1
−
2 0 0
2 2 0
2 0 2
)
=
= 8x
4
− 3(4x
1
−8) = 0
или 3x
1
+ 2x
4
= 6.
Аналогично
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 2 0 0 1
2 2 0 0 1
2 0 2 0 1
0 0 0 3 1
= 8x
4
− 3(4x
2
− 8) = 0

Страницы