Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

172 Глава 4. Аффинные пространства
x
2
= 0,
x
3
= 0,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1,
и, следовательно, точка A имеет координаты x
1
= 0, x
2
= 0, x
3
= 0, x
4
= 1,
т.е. A(0, 0, 0, 1). Аналогично пересечение плоскости π
(5)
3
с π
(1)
3
, π
(2)
3
, π
(3)
3
дает точку
B(0, 0, 1, 0), а пересечение с π
(1)
3
, π
(3)
3
, π
(4)
3
— точку C(0, 1, 0, 0) и, наконец, пересече-
ние с π
(2)
3
, π
(3)
3
, π
(4)
3
— точку D(1, 0, 0, 0). Итак, мы нашли четыре точки A, B, C, D. Их
выпуклой оболочкой является трехмерный четырехгранник (см. рис. 20,a), известный
в элементарной геометрии как треугольная пирамида или тетраэдр. Таким образом,
пересечение гиперплоскости π
(5)
3
с заданным четырехмерным параллелепипедом есть
тетраэдр ABCD.
Рассмотрим теперь случай б). Пересечение плоскостей π
(6)
3
и π
(7)
3
с π
(1)
3
, π
(2)
3
дает
точку G(0, 1, 0, 1), пересечение с π
(1)
3
, π
(4)
3
— точку H(0, 1, 1, 0), пересечение с π
(2)
3
, π
(3)
3
— точку E(1, 0, 0, 1) и, наконец, пересечение с π
(2)
3
, π
(4)
3
— точку F (1, 0, 1, 0). Мы полу-
чили тоже четыре точки G, H, E, F . Их выпуклой оболочкой является четырехгран-
ник GHEF , однако не трехмерный, как в случае а), а двумерный, т.е. параллелограмм
(см. рис. 20,б). Действительно, построим векторы
−−→
GH,
−−→
GE и
−−→
GF . Поскольку эти век-
торы имеют координаты
−−→
GH = (0, 0, 1, −1),
−−→
GE = (1, −1, 0, 0) и
−−→
GF = (1, −1, 1, −1),
то нетрудно установить равенство
−−→
GF =
−−→
GH +
−−→
GE,
откуда и следует, что четырехгранник GHEF является двумерным, т.е. параллело-
граммом.
Кроме того, можно воспользоваться следствием 15.1.2 теоремы 15.1. Для этого
нам потребуются координаты векторов, исходящих из одной точки, например, в слу-
чае а) векторов
−−→
DA,
−−→
DB,
−−→
DC, а в случае б) векторов
−−→
GH,
−−→
GE,
−−→
GF . Для случая б)
координаты у казанных векторов уже найдены:
−−→
GH = (0, 0, 1, −1),
−−→
GE = (1, −1, 0, 0)
и
−−→
GF = (1, −1, 1, −1). Для случая а) найдем
−−→
DA = (−1, 0, 1, 1),
−−→
DB = (−1, 0, 1, 0) и
−−→
DC = (−1, 1, 0, 0). Теперь из координат этих векторов составим матрицы A
a
, A
б
и
проведем элементарные преобразования:
случай а)
A
a
=
−1 0 0 1
−1 0 1 0
−1 1 0 0
!
∼
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
!
,
случай б)
A
б
=
0 0 1 −1
1 −1 0 0
1 −1 1 −1
!
∼
0 0 1 −1
1 −1 0 0
0 0 0 0
!
∼
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
.
Отсюда следует, что rang A
a
= 3, rang A
б
= 2. Это означает, что система векторов в
случае а) линейно независима, а в случае б), наоборот, линейно зависима. Геометри-
чески это соответствует тому, что в случае а) четыре точки A, B, C, D принадлежат
одной трехмерной плоскости π
3
⊂ A
4
, а в случае б) четыре точки G, H, E, F принад-
лежат одной двумерной плоскости π
2
⊂ A
4
. Для различения подобных положений
точек удобно (хотя и не обязательно) ввести следующее определение.
Точки M
1
, M
2
, . . . , M
r
называются точками, находящимися в общем положе-
нии, если они не принадлежат одной (r − 2)-мерной плоскости.
Согласно этому определению, точки A, B, C, D находятся в общем положении, то-
гда как точки G, H, E, F таковыми не являются, поскольку они принадлежат одной
плоскости размерности 4 − 2 = 2.

Страницы