ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
174 Глава 4. Аффинные пространства
Однако координаты точки F (4.8, 4.4) не удовлетворяют неравенству
x
1
+ x
2
6 8 (так как 4.8 + 4.4 = 9.2 66 8),
и, следовательно, эта точка не может быть вершиной искомого многогранника. Поэто-
му оставшиеся две вершины многогранника найдутся как точки пересечения прямой
ℓ
4
с прямыми ℓ
3
и ℓ
5
. Из системы
x
1
+ 3x
2
= 18, x
1
+ x
2
= 8
найдем координаты точки пересечения D(3, 5) и соответственно из системы
x
1
+ x
2
= 8, 2x
1
+ x
2
= 14
— координаты точки пересечения E(6, 2).
Таким образом, мы получили пятигранник с пятью вершинами: O(0, 0), A
2
(0, 6),
B
1
(7, 0), D(3, 5), E(6, 2), удовлетворяющими системе неравенств (17.37).
18. Симплексы
Верн¨емся теперь к рассмотрению многогранников, являющихся выпуклой оболоч-
кой заданной системы точек, а именно точек, находящихся в общем положении. Как
мы уже упоминали, любой многогранник можно представить себе как «кусок» неко-
торого аффинного пространства A
n
, «высеченный» несколькими гиперплоскостями,
число которых обязательно превышает его размерность n. Очевидно, что число этих
«высекающих» гиперплоскостей, т.е. число замкнутых полупространств, пересечени-
ем которых образован этот многогранник, совпадает с числом его граней. В связи
с этим возникает вопрос: какое наименьшее число граней может иметь ограничен-
ный многогранник размерности n, заданный в пространстве A
n
той же размерности.
Из всех возможных многогранников порядка n многогранник с наименьшим числом
граней имеет, очевидно, самую простую форму и называется симплексом (от латин-
ского simplex — простой). Так, из всех двумерных многогранников: тр¨ехгранник (тре-
угольник), четыр¨ехгранник (параллелограмм, трапеция и др.), пятигранник и т.д.,
двумерным симплексом является треугольник. Отметим, что только множество то-
чек, образующих треугольник, т.е. двумерный симплекс, является заведомо и обяза-
тельно выпуклым множеством (рис. 22,a), тогда как множество точек, образующих,
например, четырехугольник, таковым уже может и не быть (рис. 22,б). Пояснив про-
исхождение термина «симплекс», перейдем к его строгому определению и изучению
его свойств.
Рис. 22.
Выпуклая оболочка системы из (n + 1) точек M
1
, M
2
, . . . , M
n+1
, находящихся в
общем положении, называется n-мерным симплексом с вершинами в этих точках.
Согласно теореме 17.2, координаты x
i
, i = 1, n, всех точек, образующих n-мерный
симплекс S
n
с вершинами M
1
(x
(1)
1
, x
(1)
2
, . . . , x
(1)
n
), M
2
(x
(2)
1
, x
(2)
2
, . . . , x
(2)
n
), . . . ,
M
n+1
(x
(n+1)
1
, x
(n+1)
2
, . . . , x
(n+1)
n
), задаются формулами (17.20), (17.21) при k = n + 1,
т.е.
x
1
= λ
1
x
(1)
1
+ λ
2
x
(2)
1
+ . . . + λ
n+1
x
(n+1)
1
,
x
2
= λ
1
x
(1)
2
+ λ
2
x
(2)
2
+ . . . + λ
n+1
x
(n+1)
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
x
n
= λ
1
x
(1)
n
+ λ
2
x
(2)
n
+ . . . + λ
n+1
x
(n+1)
n
(18.1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- …
- следующая ›
- последняя »
