ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
176 Глава 4. Аффинные пространства
единственную точку, являющуюся, как мы увидим ниже, важной характеристикой
симплекса S
n
.
Точка симплекса S
n
, в которой все барицентрические координаты равны (λ
1
=
λ
2
= . . . = λ
n+1
), называется барицентром (или просто центром) симплекса.
Барицентрические координаты центра (обозначим их через x
ц
) симплекса S
n
легко
находятся из условия (18.2). Действительно, положив в (18.2) λ
1
= λ
2
= . . . = λ
n+1
=
λ
ц
, имеем
(1 + n)λ
ц
= 1,
откуда
λ
ц
=
1
1 + n
. (18.8)
Это означает, что если в вершинах симплекса S
n
поместить материальные точки
одинаковой массы, равной λ
ц
= 1/(1 + n), то центр симплекса S
n
совпадет с центром
тяжести такой системы. Аффинные координаты центра x
цi
, i = 1, n, симплекса S
n
можно получить, подставив (18.8) в (18.1):
x
цi
=
1
1 + n
(x
(1)
i
+ x
(2)
i
+ . . . + x
(n+1)
i
), i = 1, n. (18.9)
Определение граней многогранника, введенное ранее, справедливо и для симплек-
сов. Мы, однако, переформулируем это определение так, чтобы его было удобно ис-
пользовать именно для симплексов.
Для симплекса S
n
с вершинами M
i
, i = 1, n + 1, его r-мерной гранью (r <
n) называется r-мерный симплекс S
r
, имеющий (r + 1) вершин M
ik
, k = 1, r + 1,
произвольно выбранных из (n + 1) вершин симплекса S
n
.
Одномерные грани, т.е. отрезки, соединяющие две любые вершины симплекса,
называются его ребрами.
♦ Такое определение справедливо только для симплекса и не применимо к произ-
вольному многограннику. Так, например, диагональ параллелограмма, соединяющая
две вершины, не является его одномерной гранью (ребром).
Две грани размерностей r и n−(r+1) называются противоположными гранями
симплекса S
n
, если они не имеют общих вершин.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Одна точка M
1
задает нульмерный симплекс S
0
, совпадающий с этой точкой,
являющейся одновременно и его центром.
2. Две точки M
1
(x
(1)
), M
2
(x
(2)
), x
(1)
6= x
(2)
на одномерной плоскости (прямой
с репером {0, ~e}) π
1
задают одномерный симплекс S
1
, являющийся отрезком M
1
M
2
(рис. 23). Координата произвольной точки M
1
(x) этого симплекса, согласно (18.1)–
(18.3), задается формулами
x = λ
1
x
(1)
+ λ
2
x
(2)
, λ
1
+ λ
2
= 1, λ
1
> 0, λ
2
> 0. (18.10)
Отсюда при λ
1
= 1, λ
2
= 0 имеем x = x
(1)
, а при λ
1
= 0, λ
2
= 1 соответственно
x = x
(2)
. Это означает, что одномерный симплекс S
1
имеет две противоположные
грани (нульмерные симплексы), которыми являются точки M
1
и M
2
.
Барицентрические координаты λ
ц
центра M
ц
симплекса S
1
, согласно (18.8), равны
λ
1
= λ
2
= λ
ц
=
1
2
. (18.11)
Рис. 23.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- …
- следующая ›
- последняя »
