ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
178 Глава 4. Аффинные пространства
3. Три точки M
1
(x
(1)
1
, x
(1)
2
), M
2
(x
(2)
1
, x
(2)
2
), M
3
(x
(3)
1
, x
(3)
2
) в репере {0,~e
1
, ~e
2
} на дву-
мерной плоскости π
2
, находящиеся в общем положении, т.е. не лежащие на одной
прямой, задают двумерный симплекс S
2
, которым является множество точек, образу-
ющих трехгранник (треугольник) M
1
M
2
M
3
(рис. 25). Их координаты, согласно (18.1)–
(18.3), задаются формулами
x
1
= λ
1
x
(1)
1
+ λ
2
x
(2)
1
+ λ
3
x
(3)
1
,
x
2
= λ
1
x
(1)
2
+ λ
2
x
(2)
2
+ λ
3
x
(3)
2
(18.19)
при условиях
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= 1, λ
1
> 0, λ
2
> 0, λ
3
> 0. (18.20)
Отсюда при λ
1
= 1, λ
2
= λ
3
= 0 имеем
Рис. 25.
x
1
= x
(1)
1
, x
2
= x
(1)
2
, что соответствует вершине
M
1
или нульмерной грани симплекса S
2
— тре-
угольника M
1
M
2
M
3
. С физической точки зре-
ния это означает, что раз вся масса системы со-
средоточена в точке M
1
, то и центр тяжести
системы расположен в этой точке. Аналогич-
но при λ
1
= λ
3
= 0, λ
2
= 1 имеем x
1
= x
(2)
1
,
x
2
= x
(2)
2
, что соответствует вершине M
2
, и, на-
конец, при λ
1
= λ
2
= 0, λ
3
= 1 имеем x
1
= x
(3)
1
,
x
2
= x
(3)
2
, что соответствует вершине M
3
.
Кроме трех нулевых симплексов, соответствующих вершинам M
1
, M
2
, M
3
, можно
указать еще три одномерных симплекса — три одномерные грани, которые являются
отрезками M
1
M
2
, M
2
M
3
, M
3
M
1
. Они, согласно (18.19), (18.20), описываются уравне-
ниями
а) M
1
M
2
:
λ
3
= 0, λ
1
+ λ
2
= 1, λ
1
> 0, λ
2
> 0,
x
1
= λ
1
x
(1)
1
+ λ
2
x
(2)
1
, (18.21)
x
2
= λ
1
x
(1)
2
+ λ
2
x
(2)
2
;
б) M
2
M
3
:
λ
1
= 0, λ
2
+ λ
3
= 1, λ
2
> 0, λ
3
> 0,
x
1
= λ
2
x
(2)
1
+ λ
3
x
(3)
1
, (18.22)
x
2
= λ
2
x
(2)
2
+ λ
3
x
(3)
2
;
в) M
1
M
2
:
λ
2
= 0, λ
1
+ λ
3
= 1, λ
1
> 0, λ
3
> 0,
x
1
= λ
1
x
(1)
1
+ λ
3
x
(3)
1
, (18.23)
x
2
= λ
1
x
(1)
2
+ λ
3
x
(3)
2
.
Найдем теперь центры самого симплекса S
2
и его граней. Пусть точка M
ц
с аф-
финными координатами x
ц1
, x
ц2
— центр симплекса S
2
. Поскольку барицентрические
координаты точки M
ц
, согласно (18.8), равны λ
1
= λ
2
= λ
3
= λ
ц
= 1/3, то для его
аффинных координат с учетом (18.9) имеем
x
ц1
=
1
3
(x
(1)
1
+ x
(2)
1
+ x
(3)
1
),
x
ц2
=
1
3
(x
(1)
2
+ x
(2)
2
+ x
(3)
2
).
(18.24)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- …
- следующая ›
- последняя »
