ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
180 Глава 4. Аффинные пространства
m
1
+ m
2
+ m
3
= 10 кг нормируем на единицу, т.е. введем величины λ
1
= m
1
/m = 0,2,
λ
2
= m
2
/m = 0,3, λ
3
= m
3
/m = 0,5, то подстановка координат всех точек M
i
в (18.19)
да¨ет координаты центра тяжести системы
x
1
= 0,2 · 1 + 0,3 · 4 + 0,5 · 9 = 5, 9,
x
2
= 0,2 · 2 + 0,3 · 6 + 0,5 · 4 = 4, 2.
Пример 18.2. Найти уравнения, описывающие выпуклую оболочку системы, состо-
ящей из точки M
1
(1, 2) и точек, принадлежащих отрезку M
2
M
3
:
x
1
= λ
1
· 4 + λ
2
· 9,
x
2
= λ
1
· 6 + λ
2
· 4,
λ
1
+ λ
2
= 1, λ
1
> 0, λ
2
> 0.
Решение. Очевидно, что отрезок M
2
M
3
представляет собой одномерный симплекс с
вершинами в точках M
2
и M
3
. Координаты этих точек найдем, положив в заданных
уравнениях λ
′
1
= 1, λ
′
2
= 0 и λ
′
1
= 0, λ
′
2
= 1: M
2
(4, 6), M
3
(9, 4). Таким образом, мы
имеем три точки: M
1
(1, 2), M
2
(4, 6) и M
3
(9, 4). В предыдущем примере показано, что
эти точки находятся в общем положении и, следовательно, их выпуклая оболочка яв-
ляется двумерным симплексом (треугольником M
1
M
2
M
3
). Уравнения, описывающие
этот симплекс, можно получить либо из (17.19), либо непосредственно из (18.19):
x
1
= λ
1
· 1 + λ
2
· 4 + λ
3
· 9,
x
2
= λ
1
· 2 + λ
2
· 6 + λ
3
· 4,
(18.28)
где
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= 1, λ
1
> 0, λ
2
> 0, λ
3
> 0,
а величины λ
′
1
и λ
′
2
совпадают с λ
2
и λ
3
при условии λ
1
= 0.
Отметим, что уравнения (18.28) можно также получить методом, с помощью ко-
торого найдено решение примера 17.3.
Интересно, что эти же уравнения любым из указанных выше способов мы полу-
чим, рассматривая выпуклую оболочку точки M
3
и отрезок M
1
M
2
, а также выпуклую
оболочку точки M
2
и отрезок M
3
M
1
. Мы уже отмечали, что эти три пары точек и
отрезков образуют три пары противоположных граней симплекса S
2
. Стало быть,
симплекс S
2
можно рассматривать не только как выпуклую оболочку его вершин, но
и как выпуклую оболочку любой пары его противоположных граней.
19. Аффинные пространства и
задачи линейного програм мирования
Покажем теперь, что в терминах аффинного пространства, т.е. с помощью только
двух операций: сложения векторов и умножения их на число, можно решить задачи
очень важного класса, а именно задачи оптимизации. При этом можно не использо-
вать такие понятия, как длина вектора, угол между векторами и др.
Рассмотрим, например, важную с точки зрения экономики задачу о планирова-
нии оптимального выпуска продукции некоторым предприятием. Предположим, что
предприятие выпускает n различных изделий, причем для их производства требуется
m видов ресурсов (сырье, станки, рабочие и т.д.). В реальных условиях эти ресур-
сы, естественно, ограничены и составляют b
1
, b
2
, . . . , b
m
условных единиц. Обозначим
через a
i
j
технологические коэффициенты, которые показывают, сколько единиц i-го
ресурса требуется для производства единицы j-го вида изделий (i = 1, m, j = 1, n).
Через c
j
, j = 1, n, обозначим прибыль, получаемую предприятием при реализации
единицы изделия j-го вида. Исходя из этого и предположив, что коэффициенты a
ij
,
b
i
, c
j
постоянны, составим такой план выпуска продукции, при котором прибыль пред-
приятия от ее реализации была бы наибольшей.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- …
- следующая ›
- последняя »
