ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19. Аффинные пространства и задачи линейного программирования 181
Составим математическую модель задачи. Допустим, что предприятие будет вы-
пускать x
j
, j = 1, n, изделий каждого вида. Очевидно, что должны выполняться
ограничения
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ . . . + a
1
n
x
n
6 b
1
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (19.1)
a
m
1
x
1
+ a
m
2
x
2
+ . . . + a
m
n
x
n
6 b
m
,
причем
x
j
> 0, j = 1, n, (19.2)
т.е. число изделий не может быть отрицательным.
В рамках ограничений (19.1), (19.2) требуется найти значения x
j
, j = 1, n, при
которых прибыль от реализации всей продукции
F = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + c
n
x
n
(19.3)
была бы максимальной.
Функция (19.3) соответствует конечной цели оптимального планирования, в дан-
ном случае получению наибольшей прибыли, поэтому ее называют еще целевой функ-
цией или, исходя из явного вида (19.3), линейной формой.
Если отвлечься от экономического смысла задачи и рассматривать искомые ве-
личины x
j
, j = 1, n, как координаты точки в n-мерном аффинном пространстве A
n
,
то ограничения (19.1), (19.2) представляют собой некоторый выпуклый многогран-
ник, а равенство (19.3) определяет множество параллельных (в силу произвольности
F ) гиперплоскостей этого же пространства A
n
. В такой математической интерпрета-
ции смысл задачи состоит в том, чтобы выбрать из всех гиперплоскостей ту, которая
пересекает указанный выпуклый многогранник и ей отвечает наибольшее значение
величины F . Очевидно, что решение будет единственным, если пересечен ие будет
осуществляться по одной из вершин многогранника. В противном случае задача либо
имеет множество решений, либо решение вообще отсутствует.
Проиллюстрируем сказанное выше примерами.
Пример 19.1. Предприятие выпускает два вида изделий, для производства которых
используется три вида ресурсов, ограниченных значениями 18, 8 и 14 условных еди-
ниц. Матрица технологических коэффициентов A = ka
i
j
k, указывающих количество
единиц i-го ресурса для производства j-го изделия (i = 1, 2, 3, j = 1, 2) имеет вид
A =
1 3
1 1
2 1
!
. (19.4)
Составить оптимальный план выпуска продукции, если прибыль c
1
и c
2
, получаемая
от реализации изделий, равна
1) c
1
= 2, c
2
= 2;
2) c
1
= 6, c
2
= 2;
3) c
1
= 4, c
2
= 4.
Решение. Пусть предприятие выпускает x
1
единиц изделий первого вида и x
2
вто-
рого. При этом должны выполняться следующие ограничения:
x
1
+ 3x
2
6 18,
x
1
+ x
2
6 8,
2x
1
+ x
2
6 14, (19.5)
x
1
> 0,
x
2
> 0,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- …
- следующая ›
- последняя »
