ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19. Аффинные пространства и задачи линейного программирования 183
В случае в) целевая функция имеет вид
F = 4x
1
+ 4x
2
. (19.10)
Из рис. 26,в видно, что искомой прямой является прямая, проходящая через точки
D(3, 5) и E(6, 2), т.е. через грань DE пятигранника ограничений. Это означает, что
максимальное значение целевой функции (19.10) обеспечивается координатами любой
точки отрезка DE, хотя бы, например, точки D(3, 5): F
D (3,5)
= 4 · 3 + 4 · 5 = 32.
Таким образом, в отличие от предыдущих случаев, случай в) не имеет единствен-
ного решения — единственного оптимального плана.
Если учесть, что отрезок DE представляет собой одномерный симплекс с коорди-
натами
x
1
= 3λ
1
+ 6λ
2
, x
2
= 5λ
1
+ 2λ
2
, (19.11)
λ
1
> 0, λ
2
> 0, λ
1
+ λ
2
= 1,
то множество (19.11) задает совокупность оптимальных планов, имеющих одно и то
же максимальное значение F
max
= 32, что и подтверждается подстановкой (19.11) в
(19.10):
F
(x
1
,x
2
)∈DE
= 4(3λ
1
+ 6λ
2
) + 4(5λ
1
+ 2λ
2
) = 32(λ
1
+ λ
2
) = 32.
Неопределенность решения в данном случае объясняется параллельностью пря-
мой x
1
+ x
2
= 8 из ограничений (19.5) и прямых (19.10), соответствующих целевой
функции. При F = 32 эти параллельные прямые совпадают, образуя множество ре-
шений.
Следующий пример раскрывает еще одну сторону решения подобных задач.
Пример 19.2. Найти максимум целевой функции
F = x
1
+ 2x
2
(19.12)
при ограничениях
−4x
1
+ 3x
2
6 3,
−2x
1
+ 3x
2
6 9,
x
1
− 2x
2
6 2, (19.13)
x
1
> 0, x
2
> 0.
Решение. Стандартным образом строим многогран-
Рис. 27.
ник ограничений (19.13). Оказывается, что в дан-
ном случае неравенства (19.13) определяют неогра-
ниченное множество, т.е. многогранное, а именно
пятигранное, тело (рис. 27) вместо замкнутого мно-
гогранника.
По этой причине прямую, соответствующую це-
левой функции (19.12), можно отодвигать от начала
координат как угодно далеко, при этом она все рав-
но будет пересекать пятигранное тело ограничений.
Стало быть, целевая функция (19.12) может прини-
мать сколь угодно большие значения, что можно записать как F
max
= ∞. Это означает
отсутствие оптимального плана.
Приведенные примеры иллюстрируют простейший метод решения сформулиро-
ванной задачи. В общем случае нахождение экстремума целевой функции (19.3) при
ограничениях (19.1) является достаточно сложной задачей, которой занимается спе-
циальный раздел математики, называемый линейным программированием.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- …
- следующая ›
- последняя »
