Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

184 Глава 5. Линейные операторы
ГЛАВА 5
Линейные операторы
20. Линейные операторы. Матрица оператора
Линейным оператором
b
A, действующим в линейном пространстве L (или
преобразованием пространства L) над числовым полем K, называется правило,
по которому каждому элементу ~x ∈ L сопоставляется определенный элемент
~y ∈ L:
~y =
b
A~x, (20.1)
причем для любых ~x, ~y ∈ L и любого α ∈ K справедливо
b
A(~x
1
+ ~x
2
) =
b
A~x
1
+
b
A~x
2
;
b
A(α~x
1
) = α
b
A~x
1
.
Пример 20.1. Показать, что оператор, который любому ~x ∈ L ставит в соот-
ветствие нулевой вектор
ˆ
0~x =
~
0,
является линейным.
Решение. Подействуем операторо м
b
A =
ˆ
0 на сумму векторов;
b
A(~x
1
+ ~x
2
) =
ˆ
0(~x
1
+ ~x
2
) =
~
0 =
ˆ
0~x
1
+
ˆ
0~x
2
=
b
A~x
1
+
b
A~x
2
.
Аналогично
b
Aα~x
1
=
ˆ
0α~x
1
= α
~
0 = α
b
A~x
1
.
Таким об ра зом, оператор
ˆ
0 — линейный оператор.
Пример 20.2. Показать, что оператор
b
A, который любой ~x ∈ L переводит в
вектор β~x, где β ∈ K — фиксированное число, является линейным, т.е.
b
A~x = β~x,
Решение. Действительно,
b
A(~x
1
+ ~x
2
) = β(~x
1
+ ~x
2
) = β~x
1
+ β~x
2
=
b
A~x
1
+
b
A~x
2
,
b
Aα~x = βα~x = αβ~x = α
b
A~x.
Такой оператор называется оператором подобного растяжения или подобия.
Пусть ~x, ~y ∈ L. Выберем в пространстве L базис ~e
j
, j = 1, n. Оператор P ,
который любому вектору
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
ставит в соответствие вектор ~y =
k
P
j=1
x
j
~e
j
, k < n, называется оператором проек-
тирования на подпространство, натянутое на векторы ~e
1
, . . . , ~e
k
.
♦ Очевидно, что оператор проектирования линеен.
Оператор, ставящий в соответствие произвольному в ектору ~x ∈ L этот же
самый вектор, называется тождественным и обозначается
b
E~x = ~x.

Страницы