ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20. Линейные операторы. Матрица оператора 185
♦ Пусть L — линейное пространство; ~e
j
— его базис;
b
A — линейный оператор,
действующий в L. Так как
b
A~e
j
, j = 1, n, — векторы пространства L, то каждый
из них можно разложить единственным образом по векторам базиса:
b
A~e
j
=
n
X
l=1
a
l
j
~e
l
, j = 1, n. (20.2)
Матрица A = ka
l
j
k называется матрицей линейного оператора
b
A в базисе ~e
j
,
j = 1, n.
Произвольный вектор ~x ∈ L разложим по базису ~e
j
:
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
.
Тогда
~y =
b
A~x =
b
A
n
X
j=1
x
j
~e
j
=
n
X
j=1
x
j
b
A~e
j
=
n
X
j=1
n
X
k=1
x
j
a
l
j
~e
l
.
Обозначив координаты вектора ~y =
b
A~x через y
j
, запишем
y
l
=
n
X
j=1
a
l
j
x
j
. (20.3)
В матричной форме это соотношение запишется в виде
Y = AX, (20.4)
где A = ka
l
j
k — матрица линейного оператора
b
A; X = kx
l
k и Y = ky
l
k —
матрицы-столбцы, составленные из координат векторов ~x и ~y в базисе ~e
j
.
♦ Таким образом, каждому оператору
b
A соответствует (в фиксированном
базисе) квадратная матрица A = ka
l
j
k.
Пусть, наоборот, задана некоторая матрица A. Определим оператор
b
A фор-
мулами (20.4), т.е. положим
b
A~x = ~y, где координаты вектора ~y вычисляются по
координатам вектора ~x по формулам (20.4) при фиксированном базисе. Легко
проверить, что такой оператор линеен и каждому ~x ∈ L ставит в соответствие
~y ∈ L.
Таким образом, соотношение (20.3) дает общий вид линейного оператора в
конечномерном пространстве.
Пример 20.3. Найти матрицу оператора, переводящего векторы ~x
1
= (1, 0, −1),
~x
2
= (0, 1, −2) и ~x
3
= (1, 1, 1) в векторы ~y
1
= (0, 1, −1), ~y
2
= (1, 0, 2), ~y
3
=
(0, 0, −1).
Решение. Используя (20.3) и согласно условию задачи, имеем соотношения
~y
1
= Y
1
=
0
1
−1
!
=
b
A~x
1
= AX
1
= A
1
0
−1
!
;
~y
2
= Y
2
=
1
0
2
!
=
b
A~x
2
= AX
2
= A
1
0
−2
!
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- …
- следующая ›
- последняя »
