Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22. Переход от одного базиса к другому 187
Суммой двух линейны х операторов называется оператор
b
C =
b
A +
b
B,
действующий по правилу
b
C~x = (
b
A~x +
b
B~x) =
b
A~x +
b
B~x.
Произведением линейного оператора
b
A на число λ ∈ K называется опера-
тор
b
B = λ
b
A, действующий по правилу
b
B~x = (λ
b
A)~x = λ
b
A~x.
Произведением двух линейных операторов
b
A
b
B =
b
C называется линейный
оператор, действующий по правилу
b
C~x =
b
A(
b
B~x).
Например,
b
C(~x
1
+ ~x
2
) =
b
A(
b
B(~x
1
+ ~x
2
)) =
=
b
A(
b
B~x
1
+
b
B~x
2
) =
b
A(
b
B~x
1
) +
b
A(
b
B~x
2
) =
b
C~x
1
+
b
C~x
2
,
b
Cλ~x =
b
A(
b
Bλ~x) =
b
Aλ(
b
B~x) = λ
b
A(
b
B~x) = λ
b
C~x.
♦ Легко проверить, что если
b
A,
b
B — линейные операторы, то
b
A +
b
B, λ
b
A и
b
A
b
B — тоже линейные операторы.
♦ При сложении двух операторов их матрицы складываются. При п еремно-
жении двух операторов их матрицы перемножаются .
Нетрудно показать, что множество всех линейных операторов образует ли-
нейное пространство относительно операций сложения и умножения на число.
22. Переход от одного базиса к другому
Пусть даны две системы векторов: {~e
j
}
n
j=1
и {~e
j
′
}
n
j
′
=1
в пространстве L. Усло-
вимся систему ~e
j
называть старой, а ~e
j
′
— новой. Предположим, что старая
система векторов образует базис. Тогда
~e
j
′
=
n
X
j=1
p
j
j
~e
j
, ~e
j
′
= p
j
j
′
~e
j
, (22.1)
где p
l
j
— координаты векторов базиса новой системы в базисе старой. Матри-
цу этих координат будем называть матрицей перехода от старой системы к
новой: P = kp
l
j
k.
Теорема 22.1. Пусть старая система векторов образует баз ис. Новая си-
стема векторов {~e
j
′
}
n
j
′
=1
образует базис тогда и только тогда, когда матрица
перехода P невырождена.
Доказательство. Система векторов {~e
j
′
}
n
j
′
=1
образует базис тогда и только
тогда, когда ее ранг равен n. Но ранг системы векторов равен рангу матрицы P ,
составленной из координат этих векторов в базисе {~e
j
}
n
j=1
. Ранг n ×n-матрицы
равен n тогда и то ль ко тогда, когда эта матрица невырождена.

Страницы