ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23. Переход от одного базиса к другому 189
Теорема 22.3. Матрицы оператора
b
A в старом и новом базисах связаны со-
отношением
e
A = P
−1
AP. (22.6)
Доказательство. По определению матрицы оператора (20.4), запишем
Y = AX. (22.7)
Аналогично в новом базисе
e
Y =
e
A
e
X. (22.8)
Подставив (22 .3) в (22.7), получим
P
e
Y = AP
e
X.
Домножив последнее соотношение слева на P
−1
, получим
e
Y = P
−1
AP
e
X. (22.9)
Сопоставив (22.9) с (2 2.8), получим (2 2.5), что и требовалось до казать.
♦ Соотношение (22.5) в координатной форме примет вид
a
j
′
i
′
=
n
X
i=1
n
X
j=1
p
i
i
′
a
j
i
p
j
′
j
=
n
X
i=1
n
X
j=1
p
i
i
′
p
j
′
j
a
j
i
. (22.10)
Тензором второго ранга, один раз ковариантным и один раз контравари-
антным, называется объект, координаты которого при преобразовании базиса
преобразуются по правилу (22.1 0).
Следствие 22.3.1. Справедливо соотношение
det A = det
e
A. (22.11)
Доказательство. Д ействительно, так как определитель произведения матриц
равен произведению определителей этих матриц, получим
det
e
A = det P
−1
det A det P =
1
det P
det A det P = det A.
♦ Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит
от выбора базиса. Поэтому можно ввести следующее определение.
Определителем линейного оператора
b
A называется число, равно е
det
b
A = det A, (22.12)
где A — матрица оператора
b
A в любом базисе.
Полином относительно λ:
det(
b
A − λ
b
E) (22.13)
называется характеристическим полиномом о ператора
b
A, а уравнение
det(
b
A − λ
b
E) = 0 (22.14)
называется характеристическим уравн ен ием оператора
b
A.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- …
- следующая ›
- последняя »
