ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
190 Глава 5. Линейные операторы
23. Собственные векторы и
собственные значения линейных операторов
Пусть L
1
— подпространство линейного пространства L, а
b
A — линейный
оператор, действующий в L.
Подпространство L
1
называется инвариантным подпространством опе-
ратора
b
A, если для любого ~x ∈ L
1
существует ~y =
b
A~x ∈ L
1
.
♦ Пространства L и O всегда являются инвариантными подпространствами
любого линейного оператора.
♦ Очень важную роль в теории линейных операторов и в физических при-
ложениях играет понятие собственных векторов и собственных значений.
Нас б удут интересовать одномерные инвариантные подпространства, назы-
ваемые собственными направлениями операторов.
Отличный от тождественного нуля вектор ~g ∈ L (~g 6= 0) называется соб-
ственным вектором оператора
b
A, если
b
A~g = λ~g, λ ∈ K. (23.1)
Число λ называется собственным з начением оператора
b
A.
Совокупность всех собственных значений данного оператора называется
его спектром.
Теорема 23.1. Если ~g — собственный вектор оператора
b
A, то для любого
α ∈ K вектор α~g также является собственным вектором этого оператора с
тем же собственны м значением.
Доказательство. Действительно,
b
A~g = λ~g. Следовательно,
b
A(α~g) = α
b
A~g = αλ~g = λ(α~g).
Теорема 23.2. Множество всех собственных век торов, отвечающих одному
и тому же собственному значению, образует линейное инвариантное подпро-
странство оператора
b
A.
Доказательство. Пусть
b
A~g
1
= λ~g
1
и
b
A~g
2
= λ~g
2
. Тогда для вектора ~y = α~g
1
+
β~g
2
, где α, β ∈ K, получим
b
A~y =
b
A(α~g
1
+ β~g
2
) =
b
Aα~g
1
+
b
Aβ~g
2
= αλ~g
1
+ βλ~g
2
= λ(α~g
1
+ β~g
2
) = λ~y,
что и требовалось доказать.
Теорема 23.3. Собственные векторы ~g
1
, . . . ,~g
n
с попарно различными собст-
венными значениями λ
1
, . . . , λ
n
(λ
i
6= λ
j
; i 6= j), образуют линейно независи-
мую систему векторов.
Доказательство проведем методом математической индукции. При n = 1 тео-
рема верна, поскольку один ненулевой вектор является линейно независимым.
Пусть утверждение теоремы справедливо для k векторов ~g
1
, . . . ,~g
k
. Докажем,
что оно справедливо для системы из (k + 1) собственного вектора. Предполо-
жим противное: существуют α
1
, . . . , α
k+1
, не равные нулю одновременно, для
кот орых
k+1
X
l=1
α
l
~g
l
= 0. (23.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- …
- следующая ›
- последняя »
