ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23. Собственные векторы линейных операторов 191
Умножим (23.2) на
b
A и, воспользовавшись свойствами линейного оператора,
получим
b
A
k+1
X
l=1
α
l
~g
l
=
k+1
X
l=1
α
l
b
A~g
l
=
k+1
X
l=1
α
l
λ
l
~g
l
.
Но, с другой стороны,
b
A
~
0 =
~
0, т.е.
k+1
X
l=1
α
l
λ
l
~g
l
= 0. (23.3)
Умножим (23.2) на λ
k+1
и вычтем из (23.3). Получим
k
X
l=1
(λ
l
− λ
k+1
)α
l
~g
l
+ (λ
k+1
− λ
k+1
)α
k+1
~g
k+1
= 0.
По условию теоремы λ
k
−λ
k+1
6= 0 и α
l
6= 0. Следовательно, система ~g
l
, l = 1, k,
линейно зависима. Полученное противоречие доказывает теорему.
Возникает вопрос: ка к находятся собственные значения и собственные век-
торы оператора
b
A.
Теорема 23.4. Собственные значения линейного оператора
b
A совпадают с
корнями характеристического уравнения оператора
b
A.
Доказательство. Выберем в пространстве L некоторый базис ~e
j
. Пусть в этом
базисе оператору
b
A отвечает матрица A, а X — матрица-столб ец из координат
вектора ~g. Тогда вектор
b
A~g имеет столбец из координат AX. С другой стороны,
b
A~g = λ~g. Следовательно, приходим к уравнению
AX = λX (23.4)
или
(A − λI)X = 0. (23.5)
Такая система имеет отличные от нуля решения тогда и только тогда, когда
det(A − λI) = 0, что и требовалось доказать.
♦ Если это не приводит к недоразумениям, будем отождествлять вектор ~g
и столбец его координат. Тогда (23.5) можно записать в виде
(A − λI)~g = 0. (23.6)
Пусть собственное значение λ
k
встречается среди корней характеристи-
ческого уравнения n
k
раз. Число n
k
называется алгебраи ческой кратностью
собственного значения λ
k
.
Пусть r
k
= rang(A − λ
k
I). Число s
k
= n
k
− r
k
называется геометрической
кратностью собственного значения λ
k
.
Пример 23.1. Пусть в некотором базисе матрица оператора
b
A имеет вид
a) A =
1 2
2 1
; б) A =
5 2
−4 −1
; в) A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
.
Найти собственные значения и собственные векторы о ператора
b
A в этом базисе.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- …
- следующая ›
- последняя »
