ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23. Собственные векторы линейных операторов 193
Подстановка λ
2
= 3 да¨ет
2g
2
1
+ 2g
2
2
= 0,
−4g
2
1
− 4g
2
2
= 0,
откуда g
2
2
= −g
2
1
и
~g
2
= g
2
1
1
−1
.
Выбрав g
2
1
= 1, имеем второй собственный вектор
~g
2
=
1
−1
. (23.10)
Таким образом, собственному значению λ
1
= 1 соответствует собств енный век-
тор (23.9), а собственному значению λ
2
= 3 — собственный вектор (23.10).
в) Запишем систему (23.6) в разв¨ернутом виде:
(2 − λ)g
1
+ g
2
+ g
3
= 0,
g
1
+ (2 − λ)g
2
+ g
3
= 0, (23.11)
g
1
+ g
2
+ (2 − λ)g
3
= 0,
где ~g = (
g
1
g
2
g
3
)
⊺
. Однородная система (23.11) имеет нетривиальное решение
при условии
det(A − λI) =
2 − λ 1 1
1 2 − λ 1
1 1 2 − λ
=
= (2 − λ)[(2 − λ)
2
− 1] − (2 − λ − 1) + (1 − 2 + λ) = (λ − 4)(1 − λ)
2
= 0,
т.е. при λ
1
= 4 и λ
2
= λ
3
= 1.
Для простого корня λ
1
= 4 система (23.11) примет вид
−2g
1
+ g
2
+ g
3
= 0,
g
1
− 2g
2
+ g
3
= 0,
g
1
+ g
2
− 2g
3
= 0.
Выпишем матрицу этой системы и выполним указанные элементарные преоб-
разования:
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
!
S
1
+S
2
+S
3
∼
S
2
−S
3
0 0 0
0 −3 −3
1 1 −2
!
∼
0 0 0
0 1 −1
1 1 −2
!
∼
S
3
−S
2
0 0 0
0 1 −1
1 0 −1
!
.
Отсюда следует, что rang(A − 4I) = 2 и простому корню λ
1
= 4 соответствует
один собственный вектор (для простого корня геометрическая и алгебраическая
кратности всегда совпадают)
~g
1
= g
3
1
1
1
!
,
равный
~g
1
=
1
1
1
!
(23.12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- …
- следующая ›
- последняя »
