ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
194 Глава 5. Линейные операторы
если выбрать g
3
= 1.
Второй корень λ
2
= 1 имеет алгебраическую кратность r = 2, и для него
система (23.11) запишется как
g
1
+ g
2
+ g
3
= 0,
g
1
+ g
2
+ g
3
= 0,
g
1
+ g
2
+ g
3
= 0.
Отсюда следует, что ранг этой системы равен единице, т.е. rang(A −I) = 1. Это
соответствует геометрической кратности корня, равной двум (3−1 = 2). Таким
образом, для корня λ
1
= 1 имеем два собственных вектора
~g =
−g
2
− g
3
g
2
g
3
!
,
которые можно записать как
~g
2
=
1
−1
0
!
если положить g
2
= −1, g
3
= 0, и
~g
3
=
1
0
−1
!
если положить g
2
= 0, g
3
= −1.
♦ Базис в линейном пространстве L, составленный из собственных векторов
оператора
b
A, если такой базис существует, оказывается собственным базисом
оператора
b
A.
Теорема 23.5. Для того чтобы матрица A линейного оператора
b
A в данном
базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис был
собственным базисом оператора
b
A.
Доказательство непосредственно следует из определения базиса и собствен-
ных векторов.
24. Канонический вид линейного оператора
Два оператора
b
A и
b
B на зываются эквивалентными, если существуют та-
кие два базиса в пространстве L, что матрицы оператора
b
A в первом базисе
совпадает с матрицей оператора
b
B во втором базисе.
♦ Очевидно, что эквивалентные операторы определяют в пространстве L
одинаковые по своим свойствам линейные преобразования. Возникает вопрос,
как узнать по матрицам операторов
b
A и
b
B в одном базисе, я вляются ли о ни
эквивалентными. Для отв ета на этот вопрос используют базис, в котором мат-
рица оператора
b
A имеет «канонический вид» — наипростейший вид, называ-
емый жордановой формой матрицы. Оказывается, что если операторы
b
A и
b
B
эквивалентны, то канонический вид этих матриц сов па дает.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- …
- следующая ›
- последняя »
