Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

196 Глава 5. Линейные операторы
Пример 24.1. Привести все возможные виды жордановой формы при n
k
= 3,
λ = 2.
Решение. Согласно определению, жорданова форма может иметь один из сле-
дующих видов:
2 0 0
0 2 0
0 0 2
!
,
2 1 0
0 2 0
0 0 2
!
=
2 0 0
0 2 1
0 0 2
!
,
2 1 0
0 2 1
0 0 2
!
.
При практическом приведении матрицы оператора к жордано вой форме
удобно использовать следующую схему:
1) из характеристического уравнения
det(A − λI) = 0
находим собственные значения λ
k
и их алгебраические кратности n
k
;
2) определяем геометрическую кратность собственного значения λ
k
:
r
k
= rang(A − λ
k
I), s
k
= n
k
− r
k
;
3) ищем общее решение уравнения (A −λ
k
I)~g = 0, т.е. s
k
собственных векторов
~g
k
, отвечающих собственному значению λ
k
;
4) ищем присоединенные векторы из уравнения
(
b
A − λI)~g
(m)
k
= ~g
(m−1)
k
, m > 2 ;
5) составляем матрицу S и проверяем условие
SA
0
= AS.
♦ Пусть λ
i
— корень характеристического уравнения det ( A − λI) = 0 с ал-
гебраической кратностью n
i
, а уравнению
(A − λ
i
I)~g = 0
удовлетворяют l
i
< n
i
линейно независимых векторов ~g
(1)
j
, j = 1, l
i
. Векто-
ры ~g
(1)
j
, j = 1, l
i
, будут собственными в екторами матрицы A. Тогда, согласно
теореме Жордана 24.1, их совокупность можно до полнить до n
i
-мерного бази-
са присоедин¨енными векторами ~g
(m
i
)
l
i
, m
i
= 2, n
i
− l
i
(n
i
− l
i
= rang(A − λ
i
I)),
которые определяются соо тношениями
(A − λ
i
I)~g
(1)
l
i
= 0;
(A − λ
i
I)~g
(2)
l
i
= ~g
(1)
l
i
или (A − λ
i
I)
2
~g
(2)
l
1
= 0;
(A − λ
i
I)~g
(3)
l
i
= ~g
(2)
l
i
или (A − λ
i
I)
3
~g
(3)
l
i
= 0; (24.6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
(A − λ
i
I)~g
(s
i
−l
i
)
l
i
= ~g
(s
i
−l
i
−1)
l
i
или (A − λ
i
I)
s
i
−l
i
~g
(s
i
−l
i
)
l
i
= 0,
которые коротко можно записать как
(A − λ
i
I)
m
i
~g
(m
i
)
l
i
= 0, m
i
= 1, n
i
− l
i
. (24.7)

Страницы