ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
198 Глава 5. Линейные операторы
Решение. a) В явном виде задача на собственные значения и собственные век-
торы матрицы A запишется как
(2 − λ)g
1
+ g
2
− g
3
= 0,
(3 − λ)g
2
− g
3
= 0, (24.10)
g
2
+ (1 − λ)g
3
= 0,
где ~g = (
g
1
g
2
g
3
)
⊺
. Однородная система (24.10) имеет нетривиальные решения
при условии
det(A − λI) =
2 − λ 1 −1
0 3 −λ −1
0 1 1 − λ
= 0.
Последнее уравнение является кубическим:
(λ − 2)
3
= 0,
имеющим один корень λ = 2 кратности r = 3.
Подстановка единственного собственного значения λ = 2 в матрицу (A −λI)
приводит е¨е к виду
(A − λI)
λ=2
= (A − 2I) =
0 1 −1
0 1 −1
0 1 −1
!
. (24.11)
С уч¨етом этого система (24.10) записывается как
g
2
− g
3
= 0,
g
2
− g
3
= 0, (24.12)
g
2
− g
3
= 0.
Так как ранг матрицы системы (24.12) равен единице (ra ng(A − λI)
λ=2
= 1),
то эта система имеет фундаментальную систему решений, сост оящую из двух
собственных векторов, поскольку r − rang(A − 2I) = 3 − 1 = 2. Напомним, что
эта разность равна геометрической кратности корня, имеющего алгебраическую
кратность r = 3. Собственные векторы ~g
1
и ~g
2
с уч¨етом соотношения
g
2
= g
3
(24.13)
можно получить из столбца
~g =
g
1
g
2
g
2
!
, (24.14)
задав g
1
и g
2
так, чтобы векторы ~g
1
и ~g
2
были линейно независимыми.
Из теоремы Жордана 24.1 известно, что два собственных вектора можно
дополнить до трехмерного базиса третьим в ектором, который называется при-
соедин¨енным и который мы обозначим как ~g
(2)
1
= (g
(2)
1
g
(2)
2
g
(2)
3
)
⊺
, положив с
уч¨етом (24.14) ~g
1
= ~g
(1)
1
= (g
(1)
1
g
(1)
2
g
(1)
2
)
⊺
. Присоедин¨енный вектор ~g
(2)
1
и соб-
ственный вектор ~g
(1)
1
связаны соотношением
(A − 2 I)~g
(2)
1
= ~g
(1)
1
,
которое с уч¨етом (24.11) и согласно введ¨енным обозначениям имеет вид
g
(2)
2
− g
(2)
3
= g
(1)
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- …
- следующая ›
- последняя »
