Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

200 Глава 5. Линейные операторы
Проведем проверку:
AS =
2 + 1 − 1 1 −2
0 + 3 − 1 3 0
0 + 1 + 1 1 0
!
=
2 1 2
2 3 0
2 1 0
!
,
а
SA
0
=
2 1 + 0 2
2 1 + 2 0
2 1 + 0 0
!
= AS.
♦ Непосредственной проверкой можно убедиться, что
(A − 2I)
2
=
0 1 −1
0 1 −1
0 1 −1
!
2
= 0.
б) В развернутом виде задача (23.6) на собственные значения и собственные
векторы матрицы A запишется как
(1 − λ)g
1
− g
2
= 0,
g
1
+ (3 − λ)g
2
= 0,
(24.19)
где ~g = (
g
1
g
2
)
⊺
. Эта однородная система имеет нетривиальные решения при
условии
det(A − λI) =
1 − λ −1
1 3 − λ
= 0.
Последнее уравнение является квадратным:
(λ − 2)
2
= 0
и имеет один корень λ = 2 кратности r = 2.
Подстановка единственного собственного значения в матрицу A − λI при-
вед¨ет е¨е к виду
A −2I =
−1 −1
1 1
. (24.20)
С учетом этого система (2 4.19) запишется как
−g
1
− g
2
= 0,
g
1
+ g
2
= 0.
Ранг этой системы равен единице (rang(A − 2I) = 1), и, следовательно, она
имеет фундаментальную систему решений, состоящую из одного собственного
вектора (2 − 1 = 1)
~g
1
=
g
1
−g
1
= g
1
1
−1
или
~g
1
=
1
−1
,
если положить g
1
= 1. Этот собственный вектор можно дополнить присоедин¨ен-
ным вектором, который мы для простот ы обо значим через ~g
2
(вместо ~g
(1)
1
). Он
находится из уравнения
(A − 2I)~g
2
= ~g
1
. (24.21)

Страницы