Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Канонический вид линейного оператора 201
Положив
~g
2
=
g
2
1
g
2
2
,
из (24.21) имеем
−g
2
1
− g
2
2
= 1,
g
2
1
+ g
2
2
= −1.
Отсюда
~g
2
=
g
2
2
−1 − g
2
1
или
~g
2
=
0
−1
,
если положить g
2
1
= 0.
♦ Можно убедиться, что матрица A −2I является нильпотентной с нулевым
квадратом
(A − 2I)
2
=
−1 −1
1 1
2
= 0.
в) В развернутом виде задача (23.6) на собственные значения и собственные
векторы матрицы A запишется как
(A −λI)~g =
2 − λ −1 2
5 −3 − λ 3
−1 0 −2 − λ
!
g
1
g
2
g
3
!
= 0
или
(2 −λ)g
1
− g
2
+ 2g
3
= 0,
5g
1
+ (−3 − λ)g
2
+ 3g
3
= 0, (24.22)
−g
1
+ (−2 − λ)g
3
= 0.
Эта однородная система имеет нетривиальные решения при условии
det(A−λI) =
2 −λ −1 2
5 −3 − λ 3
−1 0 −2 − λ
=
5 3
−1 −2 − λ
−(3+λ)
2 −λ 2
−1 −2 − λ
= 0,
которое да¨ет кубическое уравнение
(λ + 1)
3
= 0,
имеющее один корень λ = −1 кратности r = 3.
Подстановка единственного собственного значения λ = −1 в матрицу A −λI
приводит е¨е к виду
(A −λI)
λ=−1
= (A + I) =
3 −1 2
5 −2 3
−1 0 −1
!
. (24.23)
С уч¨етом этого система (24.22) запишется следующим образом:
3g
1
− g
2
+ 2g
3
= 0,

Страницы