Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Канонический вид линейного оператора 203
∼
1 −1 0
−1 0 −1
0 0 0
−1
−1
0
!
. (24.29)
Отсюда следует, что rang(A − λI)
λ=−1
= rang A
(1)
= 2, и, кроме того, найд¨ем
~g
(2)
1
=
g
(2)
1
1 + g
(2)
1
1 − g
(2)
1
или ~g
(2)
1
=
0
1
1
!
, (24.30)
если положить g
(2)
1
= 0.
Представим теперь второй присоедин¨енный вектор так:
~g
(3)
=
g
(3)
1
g
(3)
2
g
(3)
3
. (24.31)
Чтобы найти его компоненты из (2 4.26), имеем систему
3g
(3)
1
− g
(3)
2
+ 2g
(3)
3
= 0,
5g
(3)
1
− 2g
(3)
2
+ 3g
(3)
3
= 1, (24.32)
−g
(3)
1
− g
(3)
3
= 1.
Выписав расширенную матрицу A
(1)
этой системы и проведя указанные эле-
ментарные преобразования, получим
A
(1)
=
3 −1 2
5 −2 3
−1 0 −1
0
1
1
!
S
2
−2S
1
∼
3 −1 2
−1 0 −1
−1 0 −1
0
1
1
!
S
1
+2S
2
∼
S
3
−S
2
∼
1 −1 0
−1 0 −1
0 0 0
2
1
0
!
. (24.33)
Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы системы (24.32) совпадает с
рангом системы (24.28), ранг которой, в свою очередь, сов падает с рангом мат -
рицы (A − λI)
λ=−1
. Следовательно,
~g
(3)
=
g
(3)
1
−2 + g
(3)
1
−1 − g
(3)
1
или ~g
(3)
=
0
−2
−1
!
, (24.34)
если положить g
(3)
1
= 0.
Таким образом, матрица A имеет одно действительное собственное значение
λ = −1 кратности r = 3 и соответствующий ему собственный вектор ~g
(1)
, кото-
рый совместно с присоедин¨енными векторами образует линейно независимую
систему векторов (базис)
~g
(1)
=
1
1
−1
!
, ~g
(2)
=
0
1
1
!
, ~g
(3)
=
0
−2
−1
!
.

Страницы