ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24. Канонический вид линейного оператора 205
если положить g
1
= 5.
Второе комплексное решение можно получить, подставив в (24.36) вт орой
комплексный корень λ
2
= 1 − 2i, или непосредственно из (24.37), применив
операцию комплексного сопряжения.
д) В координатной форме задача ( 23.6) запишется так:
−λg
1
+ g
2
= 0,
−λg
2
+ g
3
= 0,
−λg
3
+ g
4
= 0,
−g
1
− 2g
3
− λg
4
= 0,
(24.38)
где
~g =
g
1
g
2
g
3
g
4
.
Эта однородная система имеет нетривиальное решение при условии
det(A − λI) =
−λ 1 0 0
0 −λ 1 0
0 0 −λ 1
−1 0 −2 −λ
= λ
4
+ 2λ
2
+ 1 = (λ
2
+ 1)
2
= 0.
Последнее уравнение имеет пару комплексно сопряж¨енных корней λ
1,2
= ±i
кратности r = 2.
Найд¨ем собственный вектор ~g
1
, соответствующий комплексному корню λ
1
=
i. Подставив это значение в (24.38), получим
−ig
1
+ g
2
= 0,
−ig
2
+ g
3
= 0,
−ig
3
+ g
4
= 0,
−g
1
− 2g
3
− ig
4
= 0.
Ранг матрицы этой системы равен трем, поэтому четвертое уравнение есть ли-
нейная комбинация первых трех, из которых следует
g
2
= ig
1
, g
3
= −g
1
, g
4
= −ig
1
или
~g
1
= g
1
1
i
−i
−i
.
Положив g
1
= 1, получим
~g
1
=
1
i
−i
−i
. (24.39)
Поскольку кратность корня λ
1
= i равна двум, то для него можно най-
ти ещ¨е и присоедин¨енный вектор, который мы обозначим как ~p
1
. Если ~p
1
=
(p
1
p
2
p
3
p
4
)
⊺
, то его компоненты находятся из уравнения
(A − λI)|
λ
1
=i
~p
1
= ~g
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- …
- следующая ›
- последняя »
