Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

204 Глава 5. Линейные операторы
♦ В системе (24.26) умножение второго уравнения на (A −λI)
λ=−1
приводит
его к виду
(A − λI)
2
λ=−1
~g
(3)
= ~g
(1)
. (24.35)
Это соот ношение позволяет выразить собственный вектор ~g
(1)
непосредственно
через вто рой присоедин¨енный вектор ~g
(3)
:
(A + I)
2
~g
(3)
=
3 −1 2
5 −2 3
−1 0 −1
!
2
0
−2
−1
!
=
2 −1 1
2 −1 1
−2 1 −1
!
0
−2
−1
!
=
1
1
−1
!
,
поскольку
(A + I)
2
=
2 −1 1
2 −1 1
−2 1 −1
!
6= 0,
тогда как
(A + I)
3
=
2 −1 1
2 −1 1
−2 1 −1
!
3 −1 2
5 −2 3
−1 0 −1
!
= 0.
Эти равенства указывают на то, что векторы ~g
(0)
, ~g
(1)
, ~g
(2)
выбраны корректно.
г) В развернутом виде задача на собств енные значения и собственные функ-
ции (23.6) запишется так:
(5 − λ)g
1
+ 10g
2
= 0,
−2g
1
+ (−3 − λ)g
2
= 0,
(24.36)
где ~g = (
g
1
g
2
)
⊺
. Эта однородная система имеет нетривиальные решения при
условии
det(A − λI) =
5 − λ 10
−2 −3 − λ
= λ
2
− 2λ + 5 = 0,
т.е. при λ
1,2
= 1 ± 2i.
Найд¨ем собственный вектор ~g
1
, соответствующий комплексному корню λ
1
=
1 + 2i. Подставив это значение в (24.36 ), получим
(4 − 2i)g
1
+ 10g
2
= 0,
−2g
1
+ (−4 − 2i)g
2
= 0
или
(2 − i)g
1
+ 5g
2
= 0,
g
1
+ (2 + i)g
2
= 0.
Эти уравнения, как и следовало ожидать, линейно зависимы: первое уравнение
можно получить из второго умножением на (2 − i). Воспользовавшись первым
уравнением, найд¨ем g
2
= −(2−i)g
1
/5. Тогда собственный вектор запишется как
~g
1
=
g
1
−2 + i
5
g
1
!
или
~g
1
=
5
−2 + i
, (24.37)

Страницы