ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
202 Глава 5. Линейные операторы
5g
1
− 2g
2
+ 3g
3
= 0, (24.24)
−g
1
− g
3
= 0.
Если первое уравнение системы (2 4.24) умножить на два и вычесть из вто ро го,
то получим
3g
1
− g
2
+ 2g
3
= 0,
−g
1
− g
3
= 0,
−g
1
− g
3
= 0.
Отсюда следует, что ранг матрицы (A −λI)
λ=−1
равен двум. Это означает, что
система (24.24) допускает только один собственный вектор. В силу теоремы
Жордана единственный собственный вектор можно дополнить двумя присо-
един¨енными векторами.
Итак, из (24.24) имеем
g
3
= −g
1
, g
2
= g
1
т.е.
~g =
g
1
g
1
−g
1
!
= g
1
1
1
−1
!
или
~g = g
(1)
1
=
1
1
−1
!
, (24.25)
если выбрать g
1
= 1. Если собственный вектор ~g (24.25) мы переобозначим как
~g
(1)
, то под ~g
(2)
и ~g
(3)
будем понимать присоедин¨енные векторы, определяемые
цепочкой равенств (24.6), которые с учетом используемых обозначений примут
вид
(A − λI)|
λ=−1
~g
(2)
= ~g
(1)
,
(A − λI)|
λ=−1
~g
(3)
= ~g
(2)
.
(24.26)
Представим вектор ~g
(2)
в виде
~g
(2)
=
g
(2)
1
g
(2)
2
g
(2)
3
. (24.27)
Тогда его компоненты g
(2)
i
определятся системой уравнений
3g
(2)
1
− g
(2)
2
+ 2g
(2)
3
= 1,
5g
(2)
1
− 2g
(2)
2
+ 3g
(2)
3
= 1, (24.28)
−g
(2)
1
− g
(2)
3
= −1.
Расширенная матрица A
(0)
этой системы имеет ранг, совпадающий с рангом
матрицы (A−λI)
λ=−1
, т.е. матрицы однородной системы (24.24). Действительно,
выписав расширенную матрицу системы (24.28) и проведя указанные элемен-
тарные преобразования, найд¨ем
A
(0)
=
3 −1 2
5 −2 3
−1 0 −1
1
1
−1
!
S
2
−2S
1
∼
3 −1 2
−1 0 −1
−1 0 −1
1
−1
−1
!
S
1
+2S
2
∼
S
3
−S
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- …
- следующая ›
- последняя »
