ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Билинейные и квадратичные формы 207
где ~g = (
g
1
g
2
g
3
)
⊺
. Однородная система (24.43) имеет нетривиальные решения
при условии
det(A − λI) =
4 − λ 7 −5
−4 5 − λ 0
1 9 −4 − λ
=
= −λ
3
+ 5λ
2
− 17λ + 13 = (λ − 1)(λ
2
− 4λ + 13) = 0.
Это уравнение имеет корни λ
1
= 1, λ
2
= 2 + 3i и λ
3
= 2 − 3i.
Подставив значение первого корня в (24.43), получим систему
3g
1
+ 7g
2
− 5g
3
= 0,
−4g
1
+ 4g
2
= 0,
g
1
+ 9g
2
− 5g
3
= 0.
Выписав матрицу этой системы и произведя указанные элементарные преобра-
зования
3 7 −5
−4 4 0
1 9 −5
!
S
2
/4
∼
3 7 −5
−1 1 0
1 9 −5
!
∼
S
3
−S
2
−2S
1
3 7 −5
−1 1 0
0 0 0
!
,
найд¨ем g
2
= g
1
, g
3
= 2g
1
. Отсюда, положив g
1
= 1, получим собственный вектор
~g
1
для корня λ
1
= 1:
~g
1
=
1
1
2
!
. (24.44)
Найд¨ем теперь комплексное решение для корня λ
2
= 2 + 3i. Подставив это
значение в (24.43), имеем
(2 − 3i)g
1
+ 7g
2
− 5g
3
= 0,
−4g
1
+ (3 − 3i)g
2
= 0,
g
1
+ 9g
2
+ (−6 − 3i)g
3
= 0.
Выписав матрицу этой системы и произведя указанные элементарные преобра-
зования
2 − 3i 7 −5
−4 3(1 − i) 0
1 9 −3(2 + i)
!
∼
S
3
−(2−i)S
1
/3
2 − 3i 7 −5
−4 3(1 − i) 0
4(1 − 2i)
3
1 + 3i 0
∼
S
3
+(1−2i)S
2
/3
∼
2 − 3i 7 −5
−4 3(1 − i) 0
0 0 0
!
,
найд¨ем g
2
= 4g
1
/3(1−i), g
3
= (4+i)g
1
/3. Отсюда, положив g
1
= 3(1−i), получим
собственный вектор ~g
2
для корня λ
1
= 2 + 3i:
~g
2
=
3 − 3i
4
5 − 3i
!
. (24.45)
Комплексное решение, отвечающее корню 2 − 3i, можно получить из (24.45) с
помощью комплексного сопряжения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- …
- следующая ›
- последняя »
