Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25. Билинейные и квадратичные формы 209
Доказательство. Действительно, по определению,
A(~x, ~y) =
n
X
k,j=1
a
kj
x
k
y
j
, (25.5)
и
A(~y, ~x) =
n
X
k,j=1
a
kj
y
k
x
j
.
Сделаем в (25.5) замену индексов суммирования: k → j и j → k. Получим
A(~x, ~y) =
n
X
k,j=1
a
jk
y
k
x
j
.
Следовательно, с учетом (2 5.3) имеем a
kj
= a
jk
, что и требовалось доказать.
Билинейная форма называется положительной (неотрицательной), если
A(~x, ~y) > 0 (A(~x, ~y) > 0) для любых векторов ~x, ~y. Матрица A положительной
(неотрицательной) билинейной формы называется положительно (неотрица-
тельно) определенной.
Теорема 25.3. При переходе от одного базиса к другому коэффициенты били-
нейной формы преобразуются по закону
e
A = P
⊺
AP, (25.6)
где
e
A и A — матрица билинейной формы в новом и старом баз исе соответ-
ственно, а P — матрица перехода от одного базиса к другому.
Доказательство. П ри переходе от одного базиса к другому координаты век-
торов в старом и новом базисах связаны соотношениями
e
X = P
−1
X,
e
Y = P
−1
Y. (25.7)
Согласно (25.2), запишем
A(~x, ~y) = X
⊺
AY =
e
X
⊺
e
A
e
Y .
Подставив (25.7) в последнее соотношение, получим
(P
e
X)
⊺
AP
e
Y =
e
X
⊺
P
⊺
AP
e
Y =
e
X
⊺
e
AY,
откуда и следует (25.6).
К вадрати чной формой называется числовая функция A(~x, ~x) одного век-
торного аргумента ~x ∈ L, которая получается из произвольной билинейной
формы A(~x, ~y) заменой ~y → ~x.
Теорема 25.4. В линейном п ространст ве L существует базис {~e
j
}
n
j=1
, в ко-
тором для каждого вектора ~x =
n
P
k=1
x
k
~e
k
значение квадратичной формы вы-
числяется по формуле
A(~x, ~x) =
n
X
k=1
λ
k
(x
k
)
2
, (25.8)
где λ
k
— некоторые фиксированные числа.
Всякий базис, обладающий этим свойством, называется каноническим, а
выражение (25.8) — каноническим видом квадратичной формы.

Страницы