Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26. Скалярное произведение векторов 211
ГЛАВА 6
Евклидово пространство
26. Скалярное произведение векторов
Рассмотренное выше линейное (аффинное) пространство мы можем «обога-
тить», введя в нем метрику (от греческого µετρoν — мера, размер), т.е. способ
измерить длины векторов и углы между ними. Проще всего эти понятия можно
ввести с помощью скалярного произведения, которое мы определим аксиома-
тически.
Правило, ставящее в соответствие любым двум упорядоченным элементам
~x, ~y ∈ L определенное число из R, обозначается (~x, ~y) и называется скалярным
произведением векторов ~x и ~y, если для произвольных ~x, ~y, ~z ∈ L и любого
числа α ∈ R справедливо ( условия 1–4 называются а ксиомами):
1. (~x, ~y) = (~y, ~x);
2. (~x + ~y, ~z) = (~x, ~z) + (~y, ~z);
3. (~x, α~y) = α (~x, ~y);
4. (~x, ~x) > 0, если ~x 6=
~
0, и (~x, ~x) = 0, если ~x =
~
0.
Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение
векторов, удовлетворяющее аксиомам 1–4, на зывается евклидовым (веществен-
ным евклидовым) пространством.
Для обозначения евклидова пространства используется символ E или E
n
,
когда нужно подчеркнуть его размерность.
Если ~e
k
— базис в E
n
и
~x =
n
X
k=1
x
k
~e
k
, ~y =
n
X
k=1
y
k
~e
k
,
то скалярное произведение имеет вид
(~x, ~y) =
n
X
k=1
n
X
j=1
a
kj
x
k
y
j
, k, j = 1, n, (26.1)
где a
kj
= (~e
k
, ~e
j
). В силу аксиомы 1 a
kj
= a
jk
.
В координатной ф орме скалярное произведение можно записать как
(~x, ~y) = (x
1
a
11
+ x
2
a
21
+ . . . + x
n
a
n1
)y
1
+
+ (x
1
a
12
+ x
2
a
22
+ . . . + x
n
a
n2
)y
2
+
+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
+ (x
1
a
1n
+ x
2
a
2n
+ . . . + x
n
a
nn
)y
n
. (26.2)
♦ Скалярное произведение в виде (26.1) представляет собой би линейную
форму (25.2).
Легко видеть, что сумму (26.1) можно записать в матричной форме:
(~x, ~y) = (x
1
x
2
. . . x
n
)
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n−1
a
n2
. . . a
nn
y
1
y
2
.
.
.
y
n
=

Страницы