Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

212 Глава 6. Евклидово пространство
= ~x
⊺
(~e
1
, ~e
1
) (~e
1
, ~e
2
) . . . (~e
1
, ~e
n
)
(~e
2
, ~e
1
) (~e
2
, ~e
2
) . . . (~e
2
, ~e
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(~e
n
, ~e
1
) (~e
n
, ~e
2
) . . . (~e
n
, ~e
n
)
~y = ~x
⊺
Γ~y. (26.3)
Матрица
Γ = kg
kj
k = ka
kj
k =
(~e
1
, ~e
1
) . . . (~e
1
, ~e
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(~e
n
, ~e
1
) . . . (~e
n
, ~e
n
)
!
(26.4)
называется матрицей Грама, а ее определитель det Γ = Γ(~e
1
, . . . , ~e
n
) — опреде-
лителем Грама.
В силу аксиомы 1
Γ
⊺
= Γ. (26.5)
Кроме того, в силу аксиомы 4 выражение
(~x, ~x) = ~x
⊺
Γ~x =
n
X
k,j=1
a
kj
x
k
x
j
(26.6)
должно быть положительно определенным. Это означает, что, согласно тре-
бованиям аксиомы 4: (~x, ~x) > 0, выражение (26.6) должно принимать лишь
неотрицательные значения и обращаться в нуль, лишь когда все x
j
, j = 1, n,
равны нулю.
♦ Если в качестве матрицы Грама выбрать единичную, т.е.
Γ = I = kδ
kj
k
n×n
,
то скалярное произведение будет иметь вид
(~x, ~y) = ~x
⊺
Γ~y = ~x
⊺
~y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
n
y
n
. (26.7)
Пример 26.1. Показать, что матрица
Γ
1
=
0 1
1 0
не определяет скалярное произведение, тогда как скалярное произведение, по-
строенное по матрице
Γ
2
=
1 1
1 2
,
удовлетворяет аксиомам 1–4.
Решение. Обе матрицы удовлетво ряют аксиомам 1–3. Покажем т еперь, что
матрица Γ
1
не удовлетворяет аксиоме 4, а матрица Γ
1
ей удовлетворяет.
Действительно, в ыпишем для ма трицы Γ
1
квадратичную форму (2 6.6), со-
ответствующую аксиоме 4:
(~x, ~x) = (x
1
x
2
)
0 1
1 0
x
1
x
2
= (x
1
x
2
)
x
1
x
2
= 2 x
1
x
2
,
Отсюда следует, что скалярное произведение (~x, ~x) может быть отрицательным,
например, для x
1
< 0, x
2
> 0 . Это означает, что матрица Γ
1
порождает квадра-
тичную форму, не являющуюся положительно определенной.

Страницы