ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
214 Глава 6. Евклидово пространство
Теорема 27.2. Любая ортогональная система ненулевых элементов (векторов)
евклидова пространства линейно независима.
Доказательство. Пусть ~x
j
, j = 1, k, — ортогональная система векторов и вы-
полняется равенство
k
X
j=1
α
j
~x
j
= 0.
Умножим это соотношение скалярно на ~x
1
и получим α
1
(~x
1
, ~x
1
) = 0, откуда
следует, что α
1
= 0. Аналогично получим α
l
= 0, l = 1, k, что и требовало сь
доказать.
Чтобы доказать существование ортогональных базисов, сформулируем так
называемый метод ортогонализации.
Лемма 27.1 (метод ортогонализации). Если
~
f
j
, j = 1, n, — базис в линей-
ном пространстве E
n
, то базис
~e
k
=
~
f
k
+ λ
k1
~e
1
+ . . . + λ
k(k−1)
~e
k−1
, k = 1, n, (27.5)
является ортогональным, если
λ
kj
= −
(
~
f
k
, ~e
j
)
(~e
j
, ~e
j
)
. (27.6)
Доказательство. Из векторов
~
f
j
, j = 1 , n, линейными комбинациями составим
векторы
~e
1
=
~
f
1
,
~e
2
=
~
f
2
+ λ
21
~e
1
,
~e
3
=
~
f
3
+ λ
31
~e
1
+ λ
32
~e
2
, (27.7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
~e
n
=
~
f
n
+ λ
n1
~e
1
+ λ
n2
~e
2
+ . . . + λ
n(n−1)
~e
n−1
.
Теперь подберем ко эффициенты λ
kj
так, чтобы векторы ~e
k
были ортогональ-
ными:
(~e
k
, ~e
j
) = 0. (27.8)
Последовательно выполняя условия (27.8) для (2 7.7), получим
(~e
2
, ~e
1
) = (
~
f
2
+ λ
21
~e
1
, ~e
1
) = (
~
f
2
, ~e
1
) + λ
21
(~e
1
, ~e
1
) = 0; (27.9)
(~e
3
, ~e
1
) = (
~
f
3
+ λ
31
~e
1
+ λ
32
~e
2
, ~e
1
) = (
~
f
3
, ~e
1
) + λ
31
(~e
1
, ~e
1
) + λ
32
(~e
2
, ~e
1
) =
= (
~
f
3
, ~e
1
) + λ
31
(~e
1
, ~e
1
) = 0; (27.10)
(~e
3
, ~e
2
) = (
~
f
3
+ λ
31
~e
1
+ λ
32
~e
2
, ~e
2
) = (
~
f
3
, ~e
2
) + λ
31
(~e
1
, ~e
2
) + λ
32
(~e
2
, ~e
2
) =
= (
~
f
3
, ~e
2
) + λ
32
(~e
2
, ~e
2
) = 0 (27.11)
и т.д. Из (27.9)–(27.11) находим
λ
21
= −
(
~
f
2
, ~e
1
)
(~e
1
, ~e
1
)
; (27.12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- …
- следующая ›
- последняя »
