Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Ортогональность элементов векторного евклидова пространства 215
λ
31
= −
(
~
f
3
, ~e
1
)
(~e
1
, ~e
1
)
, λ
32
= −
(
~
f
3
, ~e
2
)
(~e
2
, ~e
2
)
. (27.13)
Обобщение (27.12) и (27 .1 3) дает
λ
kj
= −
(
~
f
k
, ~e
j
)
(~e
j
, ~e
j
)
,
что совпадает с (27 .6 ).
До сих пор мы не использовали тот факт, что векторы
~
f
j
, j = 1, n, линейно
независимы. Воспользуемся им для доказательства того, что все построенные
векторы ( 27.7) отличны от нуля, что и определяет их линейную независимость
(см. теорему 27.2). Выберем в (27.7) вектор ~e
k
и выразим последовательно вхо-
дящие в него векторы ~e
k−1
, ~e
k−2
, . . . , ~e
1
через
~
f
1
, . . . ,
~
f
k
. Тогда выбранный вектор
~e
k
запишется линейной комбинацией векторов
~
f
1
, . . . ,
~
f
k
:
~e
k
= a
1
~
f
1
+ a
2
~
f
2
+ . . . + a
k−1
~
f
k−1
+
~
f
k
. (27.14)
Из этого соо тношения следует, что ~e
k
6= 0. Действительно, в противном слу-
чае правая часть равенства (27.14) была бы нулем, что противоречит линейной
независимости векторов
~
f
1
, . . . ,
~
f
k
, так как коэффициент при
~
f
k
равен 1.
Итак, система векторов (27.7) является линейно независимой и ее векторы
попарно ортогональны. Это о значает, что система векторов образует в про-
странстве E
n
ортогональный базис ~e
j
, j = 1, n.
Теорема 27.3. В евклидовом пространстве существует ортонормированный
базис.
Доказательство. Согласно определению линейного пространства, в простран-
стве E
n
всегда существует какой-либо базис
~
f
j
, j = 1, n. Согла сно же лемме
27.1, методом ортогонализации из него всегда можно построит ь ортогональный
базис ~e
j
, j = 1, n.
Перейдем теперь от базиса ~e
j
, j = 1, n, к базису
~e
j
′
=
~e
j
|~e
j
|
. (27.15)
Нетрудно заметить, что он образован попарно ортогональными векторами еди-
ничной длины, т.е. этот базис является не только орто гональным, но и норми-
рованным (ортонормированным) базисом, что и доказывает теорему.
Теорема 27.4. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых
двух векторов равно сумме произведений координат этих векторов:
(~x, ~y) =
n
X
j=1
x
j
y
j
= X
⊺
Y, (27.16)
где
X =
x
1
.
.
.
x
n
, Y =
y
1
.
.
.
y
n
.

Страницы