Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

216 Глава 6. Евклидово пространство
Доказательство. Действительно,
(~x, ~y) =
n
X
j=1
x
j
~e
j
,
n
X
k=1
y
k
~e
k
=
n
X
j=1
n
X
k=1
(~e
j
, ~e
k
)x
j
y
k
=
n
X
j=1
n
X
k=1
δ
jk
x
j
y
k
=
n
X
k=1
x
k
y
k
,
поскольку
n
X
j=1
δ
jk
x
k
= x
j
.
Теорема 27.5. Если система векторов ~e
j
образует ортонормированный базис
евклидова пространства, то координаты x
j
вектора ~x могут быть найдены
по формуле
x
j
= (~x, ~e
j
). (27.17)
Доказательство. Разложим вектор ~x по базису ~e
j
:
~x =
n
X
j=1
x
j
~e
j
.
Вычислим скалярное произведение:
(~x, ~e
j
) =
n
X
k=1
x
k
~e
k
, ~e
j
=
n
X
k=1
x
k
(~e
k
, ~e
j
) =
n
X
k=1
x
k
δ
kj
= x
j
.
Матрица Q = kq
j
l
k называется ортогональной, если
Q
⊺
Q = I. (27.18)
Теорема 27.6. Столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормирован-
ную систему.
Доказательство. Обозначим k-й сто лбец матрицы Q через X
k
:
Q = (X
1
, . . . X
n
), Q
⊺
=
X
⊺
1
.
.
.
X
⊺
n
.
Тогда
Q
⊺
Q =
X
⊺
1
.
.
.
X
⊺
n
(
X
1
. . . X
n
) = kX
⊺
k
X
j
k,
но, согласно (27.18), Q
⊺
Q = I. Следовательно,
X
⊺
k
X
j
= δ
j
k
,
что и требовалось доказать.
Следствие 27.6.1. Ортогональные матрицы невырождены:
det Q 6= 0. (27.19)

Страницы