Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Ортогональность элементов векторного евклидова пространства 217
Доказательство непосредственно следует из линейной независимости орто-
нормированной системы векторов.
Матрица Q = kq
j
i
k называется комплексно сопряженной матрице Θ =
kθ
j
i
k, если q
j
i
= (θ
j
i
)
∗
, и обозначается Q = Θ
∗
.
Матрица Q называется эрмитово сопряженной матрице Θ, если Q =
(Θ
⊺
)
∗
, и обозначается Q = Θ
+
.
Матрица U = ku
i
j
k называется унитарной, если U
+
U = I.
Углом между двумя векторами называется угол ϕ, удовлетворяющий
двум условиям
1) cos ϕ = (~x, ~y)/|~x||~y|;
2) 0 6 ϕ 6 π.
(27.20)
♦ Условие 2 последнего определения га ра нтирует единственность угла ϕ.
♦ Для того чтобы из (27.20) можно было определить угол ϕ, должно выпол-
няться неравенство
−1 6
(~x, ~y)
|~x||~y|
6 1
или, что тоже самое,
(~x, ~y)
2
|~x|
2
|~y|
2
6 1,
т.е.
(~x, ~y)
2
6 (~x, ~x)(~y, ~y). (27.21)
Другими словами, для того чтобы корректно определить угол между двумя
векторами формулой ( 27.20), необходимо дока зат ь неравенство (27.2 1).
Теорема 27.7. Для любых двух элементов ~x, ~y произвольн ого евклидова про-
странства справедливо неравенство
(~x, ~y)
2
6 (~x, ~x)(~y, ~y), (27.22)
называемое неравенством Коши–Буняковского.
Доказательство. Из аксиомы 4 следует, что для любого λ ∈ R справедливо
(λ~x − ~y, λ~x − ~y) > 0,
т.е. для любого λ
λ
2
(~x, ~x) − 2λ(~x, ~y) + (~y, ~y) > 0.
Тот факт, что квадратный относительно λ полином принимает лишь неотрица-
тельные значения, означает, что дискриминант уравнения
λ
2
(~x, ~x) − 2λ(~x, ~y) + (~y, ~y) = 0
не может быть положительным, т.е.
D = 4(~x, ~y)
2
− 4(~x, ~x)(~y, ~y) 6 0,
откуда и следует (27.22).
Доказав неравенство Коши–Буняковского, мы вернемся к о пределителю Гра-
ма и покажем, что с его помощью возникает возможность для исследования
линейной зависимости векторов.

Страницы