Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Ортогональность элементов векторного евклидова пространства 219
~x
2
= (x
21
, x
22
, x
23
), ~x
3
= (x
31
, x
32
, x
33
) в ортогональном базисе ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
. Из эле-
ментарной геометрии известно, что объем параллелепипеда со сторонами |~x
1
|,
|~x
2
|, |~x
3
| равен
V
3
=
x
11
x
12
x
13
x
21
x
22
x
23
x
31
x
32
x
33
.
Вычислим квадрат этого определителя, умножив строки на строки:
(det A)
2
= det A det A
⊺
= det(AA
⊺
).
Получим
V
2
3
=
x
2
11
+ x
2
21
+ x
2
31
x
11
x
21
+ x
12
x
22
+ x
13
x
23
x
11
x
31
+ x
12
x
32
+ x
13
x
33
x
21
x
11
+ x
22
x
12
+ x
23
x
13
x
2
21
+ x
2
22
+ x
2
23
x
21
x
31
+ x
22
x
32
+ x
23
x
33
x
31
x
11
+ x
32
x
12
+ x
33
x
13
x
31
x
21
+ x
32
x
22
+ x
33
x
23
x
2
31
+ x
2
32
+ x
2
33
=
=
(~x
1
, ~x
1
) (~x
1
, ~x
2
) (~x
1
, ~x
3
)
(~x
2
, ~x
1
) (~x
2
, ~x
2
) (~x
2
, ~x
3
)
(~x
3
, ~x
1
) (~x
3
, ~x
2
) (~x
3
, ~x
3
)
= Γ(~x
1
, ~x
2
, ~x
3
).
Таким образом, для трехмерного подпространства утверждение тоже доказано.
По индукции для векторов ~x
1
, . . . , ~x
n
найдем
V
2
n
=
(~x
1
, ~x
1
) . . . (~x
1
, ~x
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(~x
n
, ~x
1
) . . . (~x
n
, ~x
n
)
= Γ(~x
1
, ~x
2
, . . . , ~x
n
). (27.25)
Пример 27.3. Вычислить косинус угла между векторами ~x = (0, 1, 1, 1 ) и ~y =
√
7, 1, 2, 0), если скалярное произведение в данном базисе имеет вид
(~x, ~y) =
n
X
l=1
x
l
y
l
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
+ x
4
y
4
.
Решение. По определению,
cos ϕ =
(~x, ~y)
|~x||~y|
=
0 ·
√
7 + 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 0
√
0 + 1 + 1 + 1
√
7 + 1 + 4 + 0
=
3
√
3 · 12
=
1
2
.
Линейное пространство L над полем комплексных чисел называется ком-
плексным евклидовым (а также унитарным или эрмитовым), если в нем ука-
зано правило, ставящее в соответствие любым дв ум упорядоченным элементам
~x, ~y ∈ L определенное число из C, которое обозначается (~x, ~y) и называется ска-
лярным произведением в екторов ~x и ~y. Это правило для любых ~x, ~y, ~z ∈ L и
любого числа α ∈ C удовлетворяет следующим аксиомам:
1. (~x, ~y) = (~y, ~x)
∗
;
2. (~x + ~z, ~y) = (~x, ~y) + (~z, ~y);
3. (~x, α~y) = α(~x, ~y);
4. (~x, ~x) есть вещественное неотрицательное число, равное нулю лишь при
~x = 0.
Из этих аксиом вытекают 2 следствия.
Следствие 1. Справедливо соотношение
(~x, α~y) = α
∗
(~x, ~y).

Страницы