Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28. Ортогональность подпространств евклидова пространства 221
Отсюда с учетом (28.1) следует о рт огональность вектора ~z и любого ~x ∈ E
k
:
(~z, ~x) =
~z,
k
X
j=1
λ
j
~e
j
=
k
X
j=1
λ
j
(~z, ~e
j
) = 0.
Два подпространства E
k
и E
l
евклидова пространства E
n
называются вза-
имно ортогональными, если каждый вектор из E
k
ортогонален каждому векто-
ру из E
l
(будем писать E
k
⊥ E
l
).
Лемма 28.1. Для того чтобы подпространства E
k
и E
l
евклидова простран-
ства E
n
были взаимно ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы все
базисные век торы одного подпространства были ортогональны всем базисным
векторам другого.
Доказательство. Необходимость следует непосредственно из определения, а
для доказательства достаточности предположим, что {~e
j
}
k
j=1
— базис в E
k
и
{
~
f
m
}
l
m=1
— базис в E
l
. Тогда для ка ждого ~x = x
1
~e
1
+ . . . + x
k
~e
k
из E
k
и каждого
~y = y
1
~
f
1
+ . . . + y
l
~
f
l
из E
l
скалярное произведение равно нулю:
(~x, ~y) =
k
X
j=1
x
j
~e
j
,
l
X
m=1
y
m
~
f
m
=
k
X
j=1
l
X
m=1
x
j
y
m
(~e
j
,
~
f
m
) = 0
и, значит, эти векторы ортогональны, что и требовалось доказать.
Достаточность доказывается аналогично.
Лемма 28.2. Два взаимно ортогональных подпространства пересекаются
только по нулевому вектору.
Доказательство. Пусть E
k
⊥ E
l
. Если в ектор ~x ∈ E
k
и одновременно ~x ∈ E
l
, но
тогда (~x, ~x) = 0 и из аксиомы 4 следует, что ~x = 0.
♦ В обычном трехмерном пространстве плос-
Рис. 28.
кость и перпендикулярная ей прямая образуют два
взаимно перпендикулярных подпространства E
k
⊥
E
l
. Однако уже две перпендикулярные плоскости
не будут ортогональными подпространствами, по-
скольку не все векторы одной плоскости перпен-
дикулярны векторам другой (рис. 28 ). Кроме то-
го, они пересекают ся по прямо й, что противоречит
лемме 28.2.
Подпространство E
l
, образованное всевозмож-
ными векторами из E
k
, ортогональными к подпро-
странству E
k
, называется ортогональным дополне-
нием подпространства E
k
и обозначается E
l
= E
⊥
k
.
Легко видеть, что размерность ортогонального дополнения равна l = n − k,
т.е. E
⊥
k
= E
n−k
, а также (E
⊥
k
)
⊥
= E
k
.
Теорема 28.1. Евклидово пространство E
n
является прямой суммой любого
своего подпространства и его ортогонального дополнения:
E
n
= E
k
⊕ E
⊥
k
. (28.2)

Страницы