Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28. Ортогональность подпространств евклидова пространства 223
Пример 28.2. Найти базис ортогонального дополнения L
⊺
2
подпространства
L, являющегося линейной оболочкой векторов
~a
1
= (
1 0 2 1
)
⊺
; ~a
2
= (
2 1 2 3
)
⊺
; ~a
3
= (
0 1 −2 1
)
⊺
. (28.6)
Решение. Из координат векторов (28.6) составим матрицу A и определим ее
ранг с помощью указанных элементарных преобразований:
A =
1 0 2 1
2 1 2 3
0 1 −2 1
!
S
2
−2S
1
∼
1 0 2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 1
!
∼
S
3
−S
2
1 0 2 1
0 1 −2 1
0 0 0 0
!
. (28.7)
Из (28.7) следует, что rang A = 2. Это означает, что ра змерность линейного
пространства, являющегося линейной обо ло чкой векторов (28.6) равна двум,
т.е. L = L
2
. В качестве базиса этого линейного пространства можно выбрать,
например, векторы ~a
1
и ~a
3
. Тогда ~a
2
= 2~a
1
+ ~a
3
.
Базис ортогонального дополнения L
⊥
к L можно найти из условий
(~a
1
, ~x) = 0,
(~a
3
, ~x) = 0,
(28.8)
кото рые соответствуют системе
x
1
+ 2x
3
+ x
4
= 0,
x
2
− 2x
3
+ x
4
= 0
(28.9)
для координат вектора ~x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
). Общее решение этой системы имеет
вид
~x =
−2x
3
− x
4
2x
3
− x
4
x
3
x
4
,
а для фундаментальной системы решений по лучим
~e
1
=
−2
2
1
0
, ~e
2
=
−1
−1
0
1
. (28.10)
Тогда общее решение можно записать как
~x = C
1
~e
1
+ C
2
~e
2
, (28.11)
где C
1
и C
2
— произвольные постоянные.
Это означает, что пространство решений (28.11) представляет собой дву-
мерное линейное пространство с базисом (28.10). Но , по определению, это под-
пространство является ортогональным дополнением L
⊥
2
к пространству L
2
, по-
скольку в силу соотношений (28.8) базисы {~e
1
, ~e
2
} и {~a
1
,~a
3
} взаимно орт ого-
нальны. Очевидно, что их совокупность {~a
1
,~a
3
, ~e
1
, ~e
2
} образует базис четырех-
мерного пространства L
4
= L
2
⊕ L
⊥
2
.
Пример 28.3. Линейное пространство L задано системой уравнений
2x
1
+ x
2
+ 3x
3
− x
4
= 0,
3x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0, (28.12)
3x
1
+ x
2
+ 9x
3
− x
4
= 0.
Найти базис его о рт огонального дополнения L
⊥
.

Страницы