Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

222 Глава 6. Евклидово пространство
Доказательство. П оскольку E
⊥
k
= E
n−k
, то E
⊥
k
и E
k
порождают все простран-
ство E
n
и пересекаются по нулевому вектору, что и доказывает справедливость
(28.2).
Следствие 28.1.1. Каждый вектор ~x из E
n
однозначно представляется в виде
суммы
~x = ~y + ~z, (28.3)
где ~y ∈ E
k
, а ~z ∈ E
⊥
k
.
Вектор ~y из (28.3) называется ортогональной проекцией вектора ~x на
подпространство E
k
, а вектор ~z — перпендикуляром на подпространство E
k
.
Лемма 28.3. Ортогональная проекция вектора ~x ∈ E
k
на подпространство
E
k
⊂ E
n
является единственной.
Доказательство. Пусть наряду с (28.3) существует другое разложение
~x = ~y
1
+ ~z
1
, (28.4)
где ~y
1
∈ E
k
, а ~z
1
⊥ E
k
. Вычтя (28.4) из (28.3), запишем
~y + ~z = ~y
1
+ ~z
1
или
~y − ~y
1
= ~z
1
−~z.
С учетом этого получим
(~y −~y
1
, ~y − ~y
1
) = (~y − ~y
1
, ~z
1
−~z) = 0,
поскольку ~y−~y
1
∈ E
k
, а ~z, ~z
1
⊥ E
k
. Отсюда, согласно аксиоме 4, следует ~y−~y
1
= 0
или ~y = ~y
1
, что и требовалось доказать.
Углом между вектором ~x ∈ E
n
и подпространством E
k
⊂ E
n
называется
угол ϕ между вектором ~x и его орт огональной проекцией ~y на подпространство
E
k
:
cos ϕ =
(~x, ~y)
|~x||~y|
=
(~y + ~z, ~y)
|~x||~y|
=
(~y, ~y)
|~x||~y|
=
|~y|
2
|~x||~y|
=
|~y|
|~x|
. (28.5)
Пример 28.1. Дать геометрическую интерпретацию системы
a
11
x
1
+ . . . + a
1n
x
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
m1
x
1
+ . . . + a
mn
x
n
= 0
в терминах о рт огональных подпространств.
Реш ение. Ранее мы уже рассматривали эту систему как пересечение m гипер-
плоскостей из пространства A
n
, проходящих через начало координат. Возможна
и другая геометрическая интерпретация этой системы.
Можно считать, что в евклидовом пространстве E
n
заданы m векторов a
j
=
(a
j1
, a
j2
, . . . , a
jn
, j = 1, m. Задача состоит в том, чтобы найти все векторы ~x =
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), ортогональные каждому из векторов ~a
j
, j = 1, m.
Пусть ранг матрицы системы равен r. Если вектор ~x ортогонален ко всем
векторам ~a
j
, j = 1, m, то он ортогонален и к порождаемому ими r-мерному
подпространству E
r
. Таким образом, векторы-решения ~x образуют ортогональ-
ное дополнение E
⊥
r
подпространства E
n
. Размерность E
⊥
n
(максимальное число
линейно независимых решений системы) равна, как известно, n − r. Каждая
фундаментальная система решений — это базис подпространства E
⊥
k
.
Таким образом, коэффициенты системы и ее решения составляют единое ев-
клидово пространство E
n
, представляя собой два ортогональных подпростран-
ства, являющихся ортогональными дополнениями друг друга.

Страницы