ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
220 Глава 6. Евклидово пространство
Доказательство. Действительно,
(α~x, ~y) = (~y, α~x)
∗
= (α(~y, ~x))
∗
= α
∗
(~y, ~x)
∗
= α
∗
(~x, ~y).
Следствие 2. Справедливо соотношение
(~x, ~y + ~z) = (~x, ~y) + (~x, ~z).
Доказательство аналогично доказательству предыдущего следствия.
Пример 27.4. Показать, что система аксиом скалярного произведения, приня-
тая для действительного евклидова пространства, применительно к комплекс-
ному евклидову пространству становится противоречивой.
Решение. В самом деле, пусть для комплексного евклидова пространства (λ ∈
C) первая аксиома имеет вид
(~x, ~y) = (~y, ~x).
Тогда
(~x, λ~y) = λ(~y, ~x)
и соответственно
(λ~x, λ~y) = λ
2
(~y, ~x).
Поскольку λ ∈ C, то, выбрав λ = i, получим
(i~x, i~x) = i
2
(~x, ~x) = −(~x, ~x),
т.е. скалярные произведения (~x, ~x) и (~y, ~y), где ~y = i~x, имеют разные знаки, что
противоречит аксиоме 4.
Это противоречие устраняется новой формулировкой аксиомы 1:
(~x, ~y) = (~y, ~x)
∗
.
Тогда, согла сно следствию 1, имеем
(λ~x, λ~y) = λλ
∗
(~x, ~y) = |λ|
2
(~x, ~y),
что соответствует аксиоме 4.
28. Ортогональность подпространств
евклидова пространства
Пусть E
k
— подпространство некоторого евклидова пространства E
n
.
Вектор ~a ∈ E
n
называется ортогональным подпространству E
k
⊂ E
n
, если
он ортогонален любому вектору ~x из подпространства E
k
.
Для того чтобы вектор ~z был ортогонален k-мерному подпространству E
k
,
достаточно, чтоб ы он был ортогонален векторам любого базиса ~e
j
, j = 1, n, из
E
k
:
(~z,~e
j
) = 0, j = 1, k. (28.1)
Действительно, любой вектор ~x из E
k
можно представить линейной комби-
нацией
~x =
k
X
j=1
λ
j
~e
j
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
