Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

218 Глава 6. Евклидово пространство
Теорема 27.8. Определитель Грама любой си стемы векторов всегда больше
или равен нулю. Он равен н улю тогда и только тогда, когда векторы ~e
1
, ~e
2
,
. . . ,~e
n
линейно зависимы.
Доказательство. Пусть векторы ~e
1
, . . . ,~e
n
линейно зависимы. Тогда хоть один
из них, например ~e
n
, есть линейная комбинация остальных:
~e
n
= λ
1
~e
1
+ λ
2
~e
2
+ . . . + λ
n−1
~e
n−1
.
Поэтому последняя строка в определителе Грама есть линейная комбинация
остальных. Значит, он равен нулю.
Утверждение о том, что определитель Грама положительно определен, до-
кажем для двух векторов ~e
1
и ~e
2
. В этом случае
Γ(~e
1
, ~e
2
) =
(~e
1
, ~e
1
) (~e
1
, ~e
2
)
(~e
2
, ~e
1
) (~e
2
, ~e
2
)
= (~e
1
, ~e
1
)(~e
2
, ~e
2
) − (~e
1
, ~e
2
)
2
> 0, (27.23)
и утверждение о том, что Γ(~e
1
, ~e
2
) > 0, эквивалентно неравенству Коши–Буня-
ковского.
Пример 27.1. Дать геометрическую интерпретацию определителя Грама для
двух векторов ~x и ~y из E
2
.
Решение. Будем считать векторы ~x и ~y б азисными. Запишем для них опреде-
литель Грама:
Γ(~x, ~y) =
(~x, ~x) (~x, ~y)
(~y, ~x) (~y, ~y)
= |~x|
2
|~y|
2
− (~x, ~y)
2
.
Теперь воспользуемся равенством (27 .20), записанным в виде
(~x, ~y) = |~x||~y|cos ϕ,
тогда
Γ(~x, ~y) = |~x|
2
|~y|
2
− (~x, ~y)
2
= |~x|
2
|~y|
2
(1 − cos
2
ϕ) = |~x|
2
|~y|
2
sin
2
ϕ = (|~x||~y|sin ϕ)
2
.
Но из элементарной геометрии известно, что модуль произведения |~x||~y|sin ϕ
определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах ~x и ~y как на
сторонах, т.е.
S
пар
= ||~x||~y|sin ϕ|.
Отсюда следует, что
Γ(~x, ~y) = S
2
пар
. (27.24)
Таким образом, определитель Грама векторов ~x и ~y равен квадрату площади
параллелограмма, построенного на векторах ~x и ~y как на сторонах.
Пример 27.2. Показать, что определитель Грама любых n линейно независи-
мых векторов из E
n
равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на
этих векторах как на сторонах.
Решение. Для двумерного пространства это утверждение доказано в предыду-
щем примере. Рассмотрим теперь трехмерное подпространство. Пусть ~x
1
, ~x
2
, ~x
3
— три линейно независимых вектора из E
n
с координатами ~x
1
= (x
11
, x
12
, x
13
),

Страницы