ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
224 Глава 6. Евклидово пространство
Решение. Чтобы найти размерность пространства L, выпишем матрицу систе-
мы и определим ее ранг с помощью указанных элементарных преобразований:
A =
2 1 3 −1
3 2 0 −2
3 1 9 −1
!
S
2
−2S
1
∼
S
3
−S
1
2 1 3 −1
−1 0 −6 0
1 0 6 0
!
∼
S
3
+S
2
∼
2 1 3 −1
1 0 6 0
0 0 0 0
!
S
1
−2S
2
∼
0 1 −9 −1
1 0 6 0
0 0 0 0
!
. (28.13)
Из (28.13) следует, что rang A = 2 и L = L
2
, а, кроме того, система (28.12)
равносильна системе
x
2
− 9x
3
− x
4
= 0,
x
1
+ 6x
3
= 0.
(28.14)
Исходя из (28.14), имеем базис ортогонального дополнения L
⊥
~a
1
= (
0 1 −9 −1
)
⊺
, ~a
2
= (
1 0 6 0
)
⊺
. (28.15)
С помощью векторов (28.15) систему (28 .1 4) можно записать в виде (~a
1
, ~x) =
(~a
2
, ~x).
♦ Вместо (28.15) можно выбрать векторы, координатами которых являются
коэффициенты любых двух уравнений системы (28.12), например двух первых
~a
1
′
= (
2 1 3 −1
) , ~a
2
′
= (
3 2 0 −2
) . (28.16)
Пример 28.4. Линейное пространство L задается системой уравнений из при-
мера 28.3. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L
⊥
.
Решение. Как было показано в примере 28.3, исходная система (28.12) равно-
сильна системе (2 8.14) с общим решением
~x =
−6x
3
9x
3
+ x
4
x
3
x
4
,
которое с помощью фундаментальной системы решений
~e
1
=
−6
9
1
0
, ~e
2
=
0
1
0
1
(28.17)
и произвольных постоянных C
1
и C
2
можно записать в виде
~x = C
1
~e
1
+ C
2
~e
2
.
Множеством этих векторов определяется пространство L = L
2
с базисом (28.17).
Тогда система уравнений, определяющих его ортогональное дополнение L
⊥
2
, со-
стоит из двух уравнений, коэффициентами кот орых являются координаты ба-
зисных векторов пространства L
2
, т.е. векторов ~e
1
и ~e
2
. Исходя из (28.17), имеем
систему уравнений, определяющих L
⊥
2
:
−6x
1
+ 9x
2
+ x
3
= 0
x
2
+ x
4
= 0.
(28.18)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- …
- следующая ›
- последняя »
