Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 225
Нетрудно проверить, что фундаментальная система решений системы (28.18)
имеет вид (28.15).
♦ Если выписать параллельно системы уравнений, определяющих простран-
ства L
2
(28.14) и L
⊥
2
(28.18) и их базисы (28.15) и (28.17):
L
2
: x
2
− 9x
3
− x
4
= 0,
x
1
+ 6x
3
= 0,
~e
1
= (
−6 9 1 0
)
⊺
,
~e
2
= (
0 1 0 1
)
⊺
L
⊥
2
: −6x
1
+ 9x
2
+ x
3
= 0,
x
2
+ x
4
= 0,
~a
1
= (
0 1 −9 −1
)
⊺
,
~a
2
= (
1 0 6 0
)
⊺
,
то можно видеть, что коэффициенты одной системы определяют фундамен-
тальную систему решений другой и нао борот. При этом совокупный базис
(~e
1
, ~e
2
,~a
1
,~a
2
) является базисом пространства L
4
= L
2
⊕ L
⊥
2
.
29. Евклидово (точечно-векторное) пространство
Пусть A
n
— вещественное n-мерное аффинное пространство и E
n
— соот-
ветствующее ему векторное евклидово пространство. В пространстве A
n
введе-
но понятие точки M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), которую можно рассматривать как конец
радиуса-вектора OM(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Воспользовавшись введенными в евклидо-
вом пространстве E
n
понятиями длины вектора и угла между векторами, в про-
странстве A
n
можно определить расстояние между двумя любыми его точками
M и N, положив его равным длине вектора
−−→
MN, а в случае вещественного
пространства — и угол MP N, считая его углом между векторами
−−→
P M и
−−→
P N.
Пространство A
n
с введенной в нем таким образом метрико й называется
евклидовым пространством.
♦ Именно пространствоA
n
изучается аналитической геометрией. Поскольку
само векторное евклидово пространство для краткости тоже называют евкли-
довым, то для евклидова пространства A
n
иногда используют дополнительную
характеристику: точечно-векторное. Как правило, из контекста всегда понятно,
о каком евклидовом пространстве идет речь.
Пример 29.1. Для вектора ~x из пространства E
n
найти ортогональную про-
екцию ~y и о рт огональную составляющую (перпендикуляр) на подпространство
E
m
⊂ E
n
.
Решение. Пусть {~e
j
}
n
j=1
— ортонормированный базис в E
n
, а {~a
l
}
m
l=1
— произ-
вольный базис в E
m
. Представим произвольный вектор ~x из E
n
в виде суммы его
ортогональной проекции ~y и перпендикуляра ~z на подпространство E
m
(для век-
торов ~x и ~y используются иногда обозначения y = ~x
τ
~z = ~x
н
, которые, однако,
неудобны для координатной записи):
~x = ~y + ~z = ~x
τ
+ ~x
н
. (29.1)
Будем иска ть ортогональную проекцию ~y, принадлежа щую пространству E
m
, в
виде
~y = c
1
~a
1
+ . . . + c
m
~a
m
. (29.2)
Коэффициенты c
l
, l = 1, m, найдем из условия ортогональности вектора ~z к E
m
:
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись m равенств
(~z,~a
l
) = 0, l = 1, m, (29.3)

Страницы