Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

226 Глава 6. Евклидово пространство
Отсюда, согласно (29.1), следует
(~x − ~y,~a
l
) = 0, l = 1, m,
или
(~y,~a
l
) = (~x,~a
l
), l = 1, m. (29.4)
Подставив сюда ~y из (29.2), получим систему m уравнений
c
1
(~a
1
,~a
1
) + . . . + c
m
(~a
m
,~a
1
) = (~x,~a
1
);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (29.5)
c
1
(~a
1
,~a
m
) + . . . + c
m
(~a
m
,~a
m
) = (~x,~a
m
).
Поскольку определитель этой системы, являясь определителем Грама векто-
ров базиса {~a
l
}
m
l=1
, отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
Воспользовавшись правилом Крамера, найдем
c
l
=
(~a
1
,~a
1
) ···(~a
1
,~a
l−1
)(~a
1
, ~x)(~a
1
,~a
l+1
) ···(~a
1
,~a
m
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(~a
m
,~a
1
) ···(~a
m
,~a
l−1
)(~a
m
, ~x)(~a
m
,~a
l+1
) ···(~a
m
,~a
m
)
Γ(~a
1
, . . . ,~a
l−1
,~a
l
,~a
l+1
, . . . ,~a
m
)
, l = 1, m. (29.6)
Определив из (29.6) коэффициенты c
l
, найдем ортогональную проекцию векто-
ра ~y по формуле (29.2). Теперь, зная ~y, найдем ортогональную составляющую
вектора ~x:
~z = ~x −~y. (29.7)
Заметим, что если базис {~a
l
}
m
l=1
является ортонормированным, то из (29.6) сле-
дует простое равенство
c
l
= (~x,~a
l
), l = 1, m. (29.8)
Пример 29.2. Найти ортогональную проекцию ~y и ортогональную состав ля-
ющую ~z в ектора ~x = (4, −1, −3, 4) на подпространство, являющееся линейной
оболочко й векторов
~
b
1
= (1, 1, 1, 1 ),
~
b
2
= (1, 2, 2, −1),
~
b
3
= (1, 0, 0, 3 ). (29.9)
Реш ение. Из координат векторов (29.9) составим матрицу A и определим ее
ранг с помощью указанных элементарных преобразований:
A =
1 1 1 1
1 2 2 −1
1 0 0 3
!
∼
S
2
−2S
1
=
1 1 1 1
−1 0 0 −3
1 0 0 3
!
∼
S
2
+S
3
1 1 1 1
0 0 0 0
1 0 0 3
!
.
Отсюда следует, что rang A = 2. Это означает, что линейная оболочка векто-
ров (29.9) представляет собой пространство E
2
с базисом, состоящим из двух
векторов (
~
b
3
= 2
~
b
1
−
~
b
2
), например,
~a
1
=
~
b
1
= (1, 1, 1, 1), ~a
2
=
~
b
3
= (1, 0, 0, 3). (29.10)
Теперь ортогональную проекцию ~y вектора ~x на подпространство E
2
с бази-
сом (29.10) ищем в виде (29.2), т.е.
~y = c
1
~a
1
+ c
2
~a
2
, (29.11)

Страницы