ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
228 Глава 6. Евклидово пространство
тогда
(16 + 1 + 1 + 16) = (1 + 1 + 1 + 25) + (9 + 4 + 1),
т.е. 42 = 42.
♦ Если от базиса (28 .17) перейти к ортонормированному базису ~g
1
и ~g
2
, то
вектор ~y можно найти как
~y = ˜c
1
~g
1
+ ˜c
2
~g
2
, (29.12)
где коэффициенты ˜c
1
, ˜c
2
определяются по формуле (29.8). Согласно методу ор-
тогонализации Грама–Шмидта (лемма 27.1), в качестве ортогональных векто-
ров ~v
1
и ~v
2
выберем
~v
1
= ~a
1
= (1, 1, 1, 1), ~v
2
= ~a
2
+ λ
21
~v
1
, (29.13)
где число λ
21
найдем согласно (27.6 )
λ
21
= −
(~a
2
, ~v
1
)
(~v
1
, ~v
1
)
= −
(~a
2
,~a
1
)
(~a
1
,~a
1
)
= −
4
4
= −1.
Таким об ра зом,
~v
1
=
1
1
1
1
; ~v
2
= ~a
2
−~a
1
=
1
0
0
3
−
1
1
1
1
=
0
−1
−1
2
. (29.14)
Нормировка базиса (29.14) дает
~g
1
=
~v
1
|~v
1
|
=
1
2
1
1
1
1
, ~g
2
=
~v
1
|~v
1
|
=
1
√
6
0
−1
−1
2
. (29.15)
Отсюда в силу (29.8) найдем
˜c
1
= (~x,~g
1
) =
1
2
(
4 −1 −3 4
)
1
1
1
1
=
1
2
4 = 2;
˜c
2
= (~x,~g
2
) =
1
√
6
(
4 −1 −3 4
)
0
−1
−1
2
=
1
√
6
12 =
12
√
6
.
Подставив эти значения в (29.12), получим ортогональную проекцию
~y = 2~g
1
+
12
√
6
~g
2
= 2
1
2
1
1
1
1
+
12
√
6
1
√
6
0
−1
−1
2
=
1
−1
−1
5
,
совпадающую с найденной ранее.
Пример 29.3. В пространстве E
n
найти угол между вектором ~x = (4, −1, −3, 4)
и подпространством, являющ имся линейной оболочкой векторов
~
b
1
= (1, 1, 1, 1),
~
b
2
= (1, 2, 2 , −1),
~
b
3
= (1, 0, 0, 3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- …
- следующая ›
- последняя »
