ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
230 Глава 6. Евклидово пространство
Рис. 29. Рис. 30.
Лемма 29.1. Ортогональная проекция M
′
точки M на плоскость π является
ближайшей к M точкой из всех точек плоскости π.
Доказательство. Пусть M — некоторая точка, не принадлежащая плоскости
π
(0)
, проходящей через начало координат O, а M
′
— ее ортогональная проек-
ция на плоскость π
(0)
. Из рис. 30 следует, что лемма будет доказана, если мы
покажем, что
|
−−−→
N
′
M| > |
−−−→
M
′
M| (29.21)
(причем равенство в (29.21) возможно только тогда, когда N
′
совпадает с M
′
).
Поскольку
−−−→
N
′
M =
−−−→
M
′
M +
−−−→
N
′
M
′
и
−−−→
M
′
M ⊥
−−−→
N
′
M
′
, то по теореме Пифа гора
|
−−−→
N
′
M|
2
= |
−−−→
M
′
M|
2
+ |
−−−→
N
′
M
′
|
2
,
откуда и следует (29.21). Равенство в (29.21) достигается , когда |
−−−→
N
′
M
′
| = 0, т.е.
точка N
′
совпадает с ортогональной проекцией M
′
.
Пусть теперь в евклидовом пространстве A
n
заданы произвольная k-мерная
плоскость π
(0)
k
a
11
x
1
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
k1
x
1
+ . . . + a
kn
x
n
= b
k
(29.22)
и точка M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Плоскость π
k
(29.22) получается из плоско-
Рис. 31.
сти π
(0)
k
параллельным переносом на вектор
~
b =
−−→
OB, т.е. плоскость π
k
параллельна π
(0)
k
, но про-
ходит не через начало координат O, а через точ-
ку B. Ей соответствует радиус-вектор
−−→
OB, рав-
ный
~
b.
Введенные раньше понятия орто гонально й
проекции точки на плоскость и расстоя ния до
нее естественным образом обобщаются на произвольную плоскость, проходя-
щую через точку B с радиус-вектором
−−→
OB =
~
b, если вместо вектора
−−→
OM рас-
сматривать вектор
−−→
BM =
−−→
OM −
~
b, как на рис. 31.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- …
- следующая ›
- последняя »
