Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

232 Глава 6. Евклидово пространство
имеем
−−→
BM
′
=
−−→
OM
′
0
= −
3
2
0
1
2
0
+
−1
1
0
2
=
−1
−1/2
−3
2
. (29.29)
По полученной ортогональной проекции вектора
−−→
BM найдем его перпендику-
лярную составляющую:
−−−−→
M
′
0
M
0
=
−−−→
M
′
M =
−−→
OM −
−−→
OM
′
=
1
7/2
−5
1
−
−1
−1/2
−3
2
=
2
4
−2
−1
.
Теперь расстояние от точки M до плоскости π
2
определится соотношением
|
−−−→
M
′
M| = |
−−−−→
M
′
0
M
0
=
√
4 + 16 + 4 + 1 = 5.
Пример 29.6. В пространстве A
4
найти ортогональную проекцию M
′
точки
M(4, 2, −5, 1) на плоскость π
2
:
2x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 9,
2x
1
− 4x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 12.
Решение. В примере 29.5 получено уравнение плоскости π
2
в параметриче-
ской форме (29 .26) и найдена ортогональная проекция
−−→
BM
′
= (−1, −1/2, −3, 2)
⊺
(29.29) вектора
−−→
OM. Теперь, как следует из рис. 31, радиус-вектор
−−→
OM
′
най-
дется как
−−→
OM
′
= ~x
0
+
−−→
BM
′
=
3
−3/2
0
0
+
−1
−1/2
−3
2
=
2
−2
−3
2
.
Координаты этого радиус-вектора являются и координатами точки M
′
— орто-
гональной проекции точки M на плоскость π
2
. Легко проверить, что точка M
′
принадлежит плоскости π
2
. Действительно, подстановка координат точки M
′
в
уравнения плоскости π
2
обращает их в тождества.
Ранее мы ввели понятие объема n-мерного параллелепипеда для евклидо-
ва пространства и выразили этот объем через определитель Грама. Найдем
формулу, выражающую объем параллелепипеда через ортогональную проек-
цию одного из его ребер.
Пусть {~x
j
}
k
j=1
— базис некоторого подпространства евклидова пространства
E
n
. Найдем о бъем параллелепипеда, постоенного на этих векторах. Обозначим
через
~
h
j
перпендикуляр, опущенный из из конца вектора ~x
j+1
на подпростран-
ство размерности j = 1, k − 1. Тогда при j = 1 имеем дело с одномерной задачей.
В этом случае объем V
1
равен длине вектора:
V
1
= |~x
1
|. (29.30)
При j = 2 имеем дело с двумерной задачей. В этом случае объем V
2
равен
площади параллелограмма, построенного на векторах ~x
1
и ~x
2
(см. пример 27.1):
V
2
= V
1
|
~
h
1
| = |~x
1
||
~
h
1
|. (29.31)

Страницы