ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 231
Пример 29.5. В пространстве A
4
найти расстояние от точки M(4, 2, −5, 1) до
плоскости π
2
(линейного многообразия), задаваемой уравнением
2x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 9,
2x
1
− 4x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 12.
(29.23)
Решение. Общее решение системы (29 .2 3) легко находится и имеет вид
~x =
x
1
x
2
x
3
x
3
= ~x
0
+ C
1
~a
1
+ C
2
~a
2
. (29.24)
Здесь C
1
и C
2
— произвольные постоянные; вектор ~x
0
— частное решение неод-
нородного уравнения, а векторы ~a
1
, ~a
2
образуют фундаментальную систему
решений однородного уравнения. Явный вид векторов определяется соотноше-
ниями
~x
0
=
3
−3/2
0
0
, ~a
1
=
0
1
2
0
, ~a
2
=
−1
1
0
2
. (29.25)
Если произвольные постоянные C
1
и C
2
в (29.24) заменить параметрами t
1
и t
2
, изменяющимися от −∞ до +∞, то мы получим уравнения плоскости π
2
в
параметрической форме:
~x = ~x
0
+ ~a
1
t
1
+ ~a
2
t
2
. (29.26)
Из (29.26) следует, что плоскость π
2
получается параллельным переносом на
вектор ~x
0
плоскости π
(0)
2
~x = ~a
1
t
1
+ ~a
2
t
2
, (29.27)
векторы ~a
1
, ~a
2
кот орой образуют базис ее направляющего линейного подпро-
странства.
Найдем теперь вектор
−−→
BM =
−−→
OM −~x
0
=
4
2
−5
1
−
3
−3/2
0
0
=
1
7/2
−5
1
, (29.28)
ортогональную проекцию которого на плоскость π
(0)
2
(см. рис. 31, где
~
b = ~x
0
)
ищем в виде
−−→
BM
′
=
−−→
OM
′
0
= c
1
~a
1
+ c
2
~a
2
.
Вычислив коэффициенты c
1
и c
2
по формулам (29.8):
c
1
=
(~a
1
,
−−→
BM) (~a
1
,~a
2
)
(~a
2
,
−−→
BM) (~a
2
,~a
2
)
Γ(~a
1
,~a
2
)
=
−13/2 1
9/2 6
5 1
1 6
= −
87
2 · 29
= −
3
2
;
c
2
=
(~a
1
,~a
1
) (~a
1
,
−−→
BM)
(~a
2
,~a
2
) (~a
2
,
−−→
BM)
Γ(~a
1
,~a
2
)
=
5 −13/2
1 9/2
29
=
58
2 · 29
= 1,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- …
- следующая ›
- последняя »
