Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 229
Решение. В примере 29.2 было показано, что ортогональной проекцией вектора
~x на указанное подпространство является вектор ~y = (1, −1, −1, 5). Но тогда,
согласно определению ( 28.5), для угла между ними получим
cos ϕ =
|~y|
|~x|
=
√
1 + 1 + 1 + 25
√
16 + 1 + 9 + 16
=
r
28
42
=
r
7
12
, ϕ = arccos
r
7
12
≈ 40
◦
.
Пример 29.4. Пусть E
k
и E
l
— подпространства пространства E
n
. Равносильны
ли равенства
E
⊥
k
\
E
l
= 0 и E
k
\
E
⊥
l
= 0? (29.16)
Решение. Из первого равенства следует, что подпространство E
l
является еще
и подпространством E
k
, поскольку E
⊥
k
T
E
l
= 0. Но тогда сумма E
k
и E
l
равна
E
k
+ E
l
= E
k
. (29.17)
Из второго же равенства следует, что подпространство E
k
, в свою очередь, яв-
ляется подпространством E
l
, и, следовательно,
E
l
+ E
k
= E
l
. (29.18)
Равенства (2 9.17) и (29.18 ) равносильны только при условии E
k
= E
l
. Это же
условие является условием равносильности равенств (29.16).
Пусть в евклидовом пространстве A
n
заданы k-мерная плоскость π
(0)
k
a
11
x
1
+ . . . + a
1n
x
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
k1
x
1
+ . . . + a
kn
x
n
= 0,
(29.19)
проходящая через начало координат O, и точка M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Тогда, как
известно, радиус-вектор
−−→
OM можно разложить на ортогональную проекцию
−−→
OM
′
и перпендикуляр
−−−→
M
′
M (
−−→
OM
′
∈ π
(0)
k
,
−−−→
M
′
M ∈ (π
(0)
k
)
⊥
):
−−→
OM =
−−→
OM
′
+
−−−→
M
′
M. (29.20)
Точка M
′
называется ортогональной проекцией точки M на плоскость
π
(0)
k
, если разность радиус-векторов
−−→
OM −
−−→
OM
′
=
−−−→
M
′
M
является перпендикуляром к плоскости π
(0)
k
, т.е.
−−−→
M
′
M ⊥ π
(0)
k
(рис. 29).
Расстоянием от точки M до плоскости π
(0)
k
называется расстояние от
этой точки до ее ортогональной проекции M
′
на заданную плоскость π
(0)
k
.
Другими словами, расстояние от точки M до плоскости π равно длине пер-
пендикуляра
−−−→
M
′
M.
Если ~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
k
— базис направляющего подпространства E
k
плоскости
π
(0)
k
, то орт огональная проекция
−−→
OM
′
и перпендикуляр
−−−→
M
′
M находятся по фор-
мулам (29.2), (29.6) и (29.7).
Ортогональная проекция точки на плоскость обладает замечательным свой-
ством, которое сформулировано в следующей лемме.

Страницы