ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 233
При j = 3 трехмерный объем V
3
равен площади параллелепипеда, построенного
на векторах ~x
1
, ~x
2
и ~x
3
:
V
3
= V
2
|
~
h
2
| = |~x
1
||
~
h
1
||
~
h
2
| (29.32)
и т.д. И, наконец, при j = k k-мерный объ ем V
k
равен площади гиперпаралле-
лепипеда, построенного на в екторах ~x
1
, . . . , ~x
k
:
V
k
= V
k−1
|
~
h
k−1
| = |~x
1
||
~
h
1
|···|
~
h
k−1
|. (29.33)
Из формул (29.30)–(29.33) найдем еще одно выражение для определения
длины перпендикуляра |
~
h
k−1
|:
|
~
h
k−1
| =
V
k
V
k−1
, (29.34)
которое с учетом ( 27.25) можно записать через соответствующие определители
Грама:
|
~
h
k−1
| =
s
Γ(x
1
, x
2
, . . . , x
k
)
Γ(x
1
, x
2
, . . . , x
k−1
)
. (29.35)
Пример 29.7. В пространстве A
4
с помощь ю формулы (29.3 5) найти расстоя-
ние от точки M(4, 2 − 5, 1) до плоскости π
2
:
2x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 9,
2x
1
− 4x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 12.
Решение. Это задача в примере 29.5 была решена с помощью ортогональной
проекции вектора
−−→
BM. С помощью формул (29.35) решение можно упростить,
вычислив соответствующие определители Грама.
Итак, имеем три вектора ( см. пример 29.5), два из которых
~a
1
=
0
1
2
0
, ~a
2
=
−1
1
0
2
образуют базис в направляющем подпространстве плоскости π
2
, а третий
−−→
BM =
1
7/2
−5
1
проведен из точки B, принадлежащей плоскости π
2
, в точку M (рис. 31).
Теперь, вычислив
Γ(~a
1
,~a
2
,
−−→
BM) =
(~a
1
,~a
1
) (~a
1
,~a
2
) (~a
1
,
−−→
BM)
(~a
2
,~a
1
) (~a
2
,~a
2
) (~a
2
,
−−→
BM)
(
−−→
BM,~a
1
) (
−−→
BM,~a
2
) (
−−→
BM,
−−→
BM)
=
5 1 −13/2
1 6 9/2
−13/2 9/2 157/2
=
= −
13
2
1 −13/2
6 9/2
−
9
2
5 −13/2
1 9/2
+
157
4
5 1
1 6
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- …
- следующая ›
- последняя »
